磁感应成像技术(magnetic induction tomography,MIT)是一种具有非接触性、非侵入性、可检测磁性材料等优点的电学层析成像技术^{[1, 2, 3]}，又称作电磁层析成像(electromagnetic tomography ,EMT).它通过给激励线圈加交变电流使之产生磁场，该磁场穿过被测物体，会在被测物体内产生感应涡流，该感应涡流又会产生感应磁场，即二次磁场，该二次磁场携带物体内部参数信息，在检测线圈上会检测到该磁场信号，并传给计算机系统^[4].MIT非常适用于医疗应用，尤其对还未发生病变，但对存在潜在危险的癌症早期等疾病起到预防和治疗的作用.MIT图像重建即逆问题是MIT技术的重要组成部分，而MIT图像重建算法的好坏将直接影响到重建图像(电导率或磁导率分布)的质量.LBP和Landweber是目前现有的MIT图像重建算法.LBP算法优点是成像速度快，无需迭代，但是由于该算法理论基础不够完善，导致重构出的图像失真较大.Landweber方法是当前MIT图像重建中较普遍的一种迭代算法^[5] ,由于其适应于大部分典型流型,且编程简单，比较容易实现.但由于迭代序列使其收敛速度比较慢且精度低,这就无法满足MIT系统在线实时观测的要求.

本文提出一种设置门限阈值的方法来加快其收敛速度，并为了适应于MIT系统，在每次迭代中都自适应地调节阈值参数,从而提高图像重建的质量，也加快了收敛速度.

MIT技术本质是对时谐涡流场中的边值问题求解^[6]：

通过有限元方法求式(1)的边值问题相当于求解极值的变分问题：

经离散化，变成求解节点矢量磁位值的矩阵方程^[7]：

检测线圈上的感应电压为

灵敏度S是检测线圈电压值的变化与电导率的变化之比：

MIT正问题可表示成时谐涡流场问题，即电压V和电导率σ的关系：

则相应的逆问题为

式(7)往往是欠定的且是非线性的.图 1展示了正逆问题的关系.

图1(Fig. 1)

图1 正逆问题的关系 Fig. 1 Relationship between forward and inverse problem

Landweber的基本思想^[5]是最小化目标:

函数f(σ)对应的梯度为

根据梯度下降法，如果函数f(σ)在点σ=σ^k处有定义并且可微，那么函数f(σ)在σ=σ^k点沿着负梯度方向－∇f(σ)下降最快.基于此，为了求解式(8)，可以提出以下迭代公式：

提高收敛速度的投影算子：

由于Landweber算法的收敛性较差，成像质量依赖于参数α的选择.通过设置门限阈值可以加快收敛速度^[9].设定门限阈值，将很容易求解式(10)，其形式为

让d=(σ^k+1)_i,有

参数τ的选择非常重要，选择一个适应MIT系统的参数τ的思想是：如果让设置门限值后的结果约等于Landweber多步迭代后的结果，图像重建会很快收敛，这就导致

根据Landweber迭代算法，能得到多步迭代：

根据式(12)和式(13)可知：

联合式(14)和式(15)：

对于整个向量σ^k有

根据不同的A或j，能得到不同种类的最小值τ.通过实验可获得最优的A或j.

具体实现步骤：

步骤1 根据公式(15)计算矩阵A，根据公式(18)计算参数τ.

步骤2 以迭代的方式更新式(12)和(13).

步骤3 在每次迭代后，根据式(11)更新估计投影.

步骤4 迭代次数k在不断增加的同时，也不断重复步骤2.当式(6)达到足够小时，终止迭代过程. 步骤5 计算时间和误差.

为了验证阈值Landweber算法的性能，本文利用Comsol Multiphysics仿真软件建立MIT系统的测量模型.表 1为LBP，Landweber和本文算法的重建图像.

表1(Table 1)

表1 原始图和不同算法的图像重建结果 Table 1 Original figure and image reconstruction with different algorithms 序号 原始图像 LBP Landweber 本文算法 a b c

表1 原始图和不同算法的图像重建结果 Table 1 Original figure and image reconstruction with different algorithms

由表 1可知，本文算法(利用阈值Landweber算法)得出的图像边缘清晰，优于LBP和Landweber算法得出的图像重建效果.

由表 2可知，在同一种模型下，相同的迭代次数，本文算法的重建图像时间明显小于Landweber迭代算法.由于LBP无需迭代自然时间很短.

表2(Table 2)

表2 不同算法的计算时间 Table 2 Computing time of different algorithms s 序 号 LBP Landweber 本文算法 a 0.003 4 0.138 0 0.085 0 b 0.004 0 0.157 2 0.110 3 c 0.002 1 0.143 9 0.103 0

表2 不同算法的计算时间 Table 2 Computing time of different algorithmss

图像重建误差是指重建图像与原始图像之间的相对误差：

由表 3可知，本文算法的图像误差比LBP、未加阈值Landweber图像重建算法要好得多 .由此证明了本文算法的重建图像的视觉效果清晰、误差小.

表3(Table 3)

表3 不同算法的相对误差 Table 3 Relative error of different algorithms % 序 号 LBP Landweber 本文算法 a 158.90 68.45 49.40 b 130.62 90.47 56.52 c 98.39 84.31 68.38

表3 不同算法的相对误差 Table 3 Relative error of different algorithms

本文在分析MIT系统基本理论的基础上，提出了一种阈值Landweber图像重建算法.通过仿真实验证明本文算法的图像效果和误差均比LBP，Landweber图像重建算法要好得多，且收敛速度快.由此可见，本文算法用于MIT图像重建有效且精度较高，值得进一步研究和推广.