起升系统是岸边集装箱桥式起重机(以下简称岸桥)的重要机构部件，其主要功能是实现货物上升和下降.在运行过程中，整个起升系统要经历从静止到加速、然后匀速、最后减速到静止的多次循环过程；而且起吊货物运动发生改变以及岸桥支撑结构的自身振动都会对起升传动系统产生附加的动载荷^{[1, 2]}.所以岸桥起升传动系统处于转速和负载都不断变化的复杂工况，这对其可靠性提出了较高要求.因此研究起升动载激励下岸桥起升传动系统的动力学特性不仅对可靠性设计具有重要意义，同时也是保证岸桥稳定、高效工作的前提.

在齿轮动力学方面，围绕振动特性分析和动载荷计算的齿轮传动动态特性分析方法和结论一直是业界研究的焦点^[3]，不仅扩展到强度、寿命、精度、可靠性，而且强调齿轮传动系统的动力学性能，如振动、噪声、冲击等^{[4, 5, 6, 7]}，但这些研究都未考虑外部激励变化带来的影响.近年来，文献[8, 9, 10]研究了外部随机风速变化导致的时变外载荷给风电齿轮系统带来的影响，但起升系统频繁启停，使得负载和转速的变化快且大，频率成分相对复杂.

为了更好地描述岸桥起升传动系统在起升动载激励下的动态特性，本文考虑了岸桥自身结构的作用，建立整个起升机构的动力学模型来模拟起升动载荷.以40 t单大梁岸桥起升机构的齿轮传动系统为研究对象，模拟了电机从启动到匀速再到停止转动的一个工作循环，在此基础上对齿轮传动系统的动力学响应特性进行了分析，得到了齿轮传动系统各构件的动态响应，对不同阶段的啮合力进行了频域分析，为起升齿轮传动系统的动态性能优化和可靠性设计提供依据.

以40 t单大梁岸桥起升传动系统为研究对象，其传动形式如图 1所示.采用两级行星齿轮传动，结构形式为太阳轮输入，行星架输出，内齿圈固定，并用3个行星轮进行均载和分流功率.电机提供输入转矩T_in，通过两级行星传递给输出轴，而输出轴与卷筒连接在一起，将输出转矩T_out转化成钢丝绳上的力，从而带动货物的起升.

图1(Fig. 1)

图1 岸桥起升传动系统示意图 Fig. 1 Sketch diagram of lifting transmission system of crane

行星齿轮传动中行星轮不仅绕行星轮轴自转，还绕着太阳轮中心与行星架一起公转，所以选择在行星架随动坐标系oξη下建立行星齿轮传动的动力学模型.考虑齿轮副的时变啮合刚度和轴承的支撑刚度，采用集中参数法建立如图 2所示的行星齿轮传动系统平移-扭转耦合的动力学模型.扭转方向按输入扭矩作用下的扭转方向为正方向，平移方向以各自坐标系下为正方向.

图2(Fig. 2)

图2 行星齿轮动力学模型 Fig. 2 Dynamic model of planetary gear system

图中：k_ps，k_pr为齿轮副的啮合刚度；k_jx，k_jy为各构件的支撑刚度，j=s,p,c,r；下标s,p,c,r分别为太阳轮、行星轮、行星架和内齿圈；u_s，u_p，u_c为各构件的扭转方向的位移；x_j，y_j为各构件的平移方向的位移；φ_i为第i个行星轮的位置角，i=1,2,3；α为齿轮副的啮合角，一般为20°.

由图 2可以得到太阳轮和行星轮在啮合线方向的弹性变形δ_spi、内齿圈和行星轮在啮合线方向的弹性变形δ_rpi、行星轮相对于行星架沿动坐标系两个坐标轴的弹性变形δ_cix，δ_ciy和扭转方向的弹性变形δ_ciu：

将啮合线方向的弹性变形乘以啮合刚度，可得齿轮副的啮合力；将各构件在平移方向的位移乘以轴承的支撑刚度，可得各构件的轴承力.根据各构件的受力分析推导出行星齿轮传动系统平移-扭转的振动微分方程为

将式(1)化简，其矩阵形式为

刚度激励是由啮合过程中啮合齿对数的变化造成的，对系统形成动态激励.直齿轮的啮合刚度可假设为按照矩形波规律变化，可将啮合综合刚度表示成傅里叶级数，则啮合刚度表示为

以某40 t单大梁岸桥起升机构为例，起升机构可建立如图 3所示的6质量块6自由度的动力学模型，取向下为正.岸桥的前大梁简化成5个自由度，将前大拉杆、前小拉杆简化为抗拉刚度分别为k₁，k₂的弹簧，并且在弹簧两端分别有前大拉杆和前小拉杆质量的一半.重物m₆在起升过程中，因为钢丝绳的质量远远小于起升的重物的质量，故忽略钢丝绳的质量.将钢丝绳等效为一个刚度系数为k₃的弹簧，并考虑阻尼作用.s(t)为卷筒的收绳量，直接作用在起吊物体上.

图3(Fig. 3)

图3 起升系统动力学模型 Fig. 3 Dynamic model of lifting system

根据起升系统的计算模型，建立系统的运动微分方程:

岸桥起升过程可以分为两个阶段：第一阶段是钢丝绳开始收绳起到吊物即将离开地面的瞬间.在这个阶段，吊物并未离开地面也没有振动，只有支撑结构参与到振动中.此时，起升系统的振动微分方程为

第二阶段是吊物离开地面，并被提升的过程，在这个阶段，吊物参与到整个系统的振动.起升系统的振动微分方程如式(2)所示.其中，

求解运动微分方程可得到各质量块的加速度、速度和位移，进而求得重物起升工作循环中，钢丝绳上张力的大小.钢丝绳的张力直接作用在卷筒上，对齿轮传动系统产生了相应的负载转矩.起升机构的参数：重物m₆为40 000 kg；钢丝绳刚度k₃为4.02×10⁷ N/m，阻尼c₃为2.68×10⁴ N·s/m；卷筒半径r为0.59 m；电机为变频调速电机，输入转速为0~960 r/min.吊物起升过程中，一般加速和制动时间取为2 s，为简化数据量，在一个工作循环中的匀速阶段的时间取为4 s.故在一个起升工作循环中电机的输入转速如图 4所示.

图4(Fig. 4)

图4 电机输入转速随时间的变化 Fig. 4 Change of motor speed with time

利用数值分析方法求解系统微分方程得到传动系统的负载扭矩的时间历程曲线如图 5所示.

图5(Fig. 5)

图5 齿轮传动系统负载扭矩随时间的变化 Fig. 5 Change of load torque of gear transmission with time

某40 t岸桥起升机构的两级行星齿轮传动系统的设计参数如下.

高速级：Z_s1=22，Z_p1=41，Z_r1=105，m₁=5.

低速级：Z_s2=29，Z_p2=31，Z_r2=91，m₂=6 .

在得到行星齿轮传动系统的时变外部激励和时变内部激励之后，将其代入所建立的齿轮传动系统平移-扭转耦合的动力学模型中，利用数值分析方法计算出系统各个构件的动态响应.图 6为第一级太阳轮3个方向的位移动态响应.

图6(Fig. 6)

图6 第一级太阳轮的位移响应曲线 Fig. 6 Displacement response of the first stage sun gear

分析图 6中太阳轮的振动曲线可知，平移方向的振动位移响应先是为零，经历一段时间后开始关于y=0上下对称振动，这与前文中起升过程的两个阶段相对应.传动系统在吊物未离地时并未开始发生振动，只是扭转方向发生了相应偏转；吊物离地后，各构件开始振动.且当从加速阶段到匀速阶段，振动幅值开始增大，到达减速阶段时，平移方向的振动趋于减小；这主要是由于匀速阶段的转速比其他两个阶段要大，平移方向的振动受转速影响较大，扭转方向的振动响应随转速变化的改变不大.太阳轮扭转方向的振动与外载荷具有相同的变化趋势，又在此趋势上叠加了高频振动，且高频振动幅值与外载荷变化规律无关.太阳轮平移方向的振动随外载荷变化影响不明显.

图 7和图 8分别为第一级行星轮和行星架的振动响应.从图中可知，行星轮和行星架的振动规律与太阳轮的相似.平移方向中除行星轮的y_p向外，都是关于y=0上下对称的，且随转速的增大而增大.扭转方向及行星轮的y向都具有外载相同变化规律的低频振动，并在此趋势上叠加了高频振动.

图7(Fig. 7)

图7 第一级行星轮的位移响应曲线 Fig. 7 Displacement response of the first stage planetary gear

图8(Fig. 8)

图8 第一级行星架的位移响应曲线 Fig. 8 Displacement response of the first stage planetary carrier gear

表 1为各构件在平移和扭转方向的振动幅值.对比各个构件的振动幅值可知，高速级的3个构件都大于低速级.平移方向中，太阳轮的振动幅值最大，行星轮次之，行星架最小；扭转方向中行星轮最大，太阳轮次之，行星架最小.

表1(Table 1)

表1 各构件的振动幅值 Table 1 Vibration amplitude of every component 级数 构件 平移方向振动 幅值/μm 扭转方向振动 幅值/μm 第一级 太阳轮 120 20 行星轮 80 50 行星架 50 5 第二级 太阳轮 50 20 行星轮 30 25 行星架 20 10

表1 各构件的振动幅值 Table 1 Vibration amplitude of every component

将得到的啮合线的相对位移乘以时变啮合刚度，即可计算出齿轮间的啮合力.图 9为太阳轮与行星轮之间的啮合力.

图9(Fig. 9)

图9 太阳轮与行星轮之间的啮合力 Fig. 9 Mesh force between sun and planetary gear

啮合力的变化明显区分了加速阶段、匀速阶段和减速阶段，且匀速阶段的振动幅值最大.分别对这三个阶段的啮合力做功率谱分析，如图 10所示.

图10(Fig. 10)

图10 啮合力的功率谱密度 Fig. 10 Power spectral density of mesh force

三个阶段的啮合力频率成分较丰富，主要频率在961.9，1 602，1 968和2 778 Hz附近.961.9 Hz为系统的扭转模态频率、其余均为行星轮的平移模态频率.加速和减速阶段，在这些频率附近出现了明显的边频带现象，这与两阶段内转速的变化引起系统的时变刚度有关，即不同转速下，系统刚度的时变特性导致系统响应频率的变动.在匀速阶段的边频带现象不明显，而主要频率成分较多.这是由于时变啮合刚度是按照矩形波来模拟的，一个周期内时变啮合刚度值变化一次，故在匀速阶段中1 602和2 778 Hz附近有两个频率值出现.

1) 起升过程中，匀速阶段的振动响应要大于加速和减速阶段，主要是转速的增加会增大各方向的振动响应，但对扭转方向的影响较小.

2) 扭转方向及行星轮的y_p向的振动与外载荷具有相同的变化规律，而平移方向的振动和扭转方向振动的幅值与外载荷变化规律无关；扭转方向和行星轮的y_p向的振动是由外载荷激励引起的低频响应和内部激励引起的高频响应相叠加而成；平移方向的振动是由受迫振动产生的高频自由振动响应.

3) 传动系统的高速级比低速级的振动响应幅值大；平移方向中太阳轮最大，行星轮次之，行星架振动最小；扭转方向中行星轮最大，太阳轮次之，行星架振动最小.

4) 在加速和减速阶段的啮合力频谱中，出现了明显的变频带现象，这与转速变化引起的时变刚度有关.