近年来，服务业成为国民经济的重要产业.物流服务供应链(logistics service supply chain,LSSC)作为一种典型的服务供应链，吸引了学者的普遍关注^{[1, 2, 3, 4]}.田宇^[1]认为LSSC是一种由集成物流服务供应商的供应商→集成物流服务供应商→制造、零售企业的模式.刘伟华^[2]考虑了LSSC各成员间的物流服务能力问题，通过合作契约，已达到LSSC协调.李剑锋等^[3]研究了利润最大化下的二级LSSC的定价与效率问题，建立了以物流服务集成商(logistics service integrator,LSI)为核心企业的集成商与提供商(functional logistics service provider,FLSP)之间的Stackelberg博弈模型，得出了LSI的最优定价与最优订购量.服务质量越来越成为服务供应链运作的一个关键的问题.Liu等^[5]考虑多阶段条件下LSSC的质量监督与合作问题，构建了LSI与FLSP之间的博弈模型.同时，Liu等^[6]研究了由一个服务提供商和一个功能商组成的LSSC质量控制问题.而且，Liu等^{[7, 8, 9, 10]}分别分析了基于理性预期均衡、预测行为和竞争性招标策略及累积前景理论的两级物流服务供应链订单分配问题.

随着行为经济学的崛起，越来越多的学者开始考虑行为因素对供应链管理的影响.李剑锋等^[11]进行了基于期权与具有风险规避特征的LSI的LSSC协调研究，利用条件风险值，建立了LSI，FLSP，LSSC风险规避模型，求得LSI的初始最优订购量、期权最优购买量及价格、最优执行价格.

本文在已有文献对LSSC质量控制问题研究的基础上，针对供应中断条件下考虑风险规避的物流服务问题，建立了质量控制模型，求得Nash与Stackelberg博弈均衡解，并运用数值仿真对结果进行详细分析.

考虑了由一个LSI，两个FLSP和最终客户构成的物流服务供应链，如图 1所示.

图1(Figure 1)

图1 物流服务供应链质量控制 Fig. 1 Quality controlling in LSSC

考虑到FLSP可能发生的不确定风险而造成供应中断，LSI选择了Main FLSP(M-FLSP)和Second FLSP(S-FLSP).当M-FLSP因不确定风险造成部分供应中断，不能提供全部的物流服务，LSI可以转由向S-FLSP购买物流服务或者在潜在物流服务市场中寻求新的合作伙伴.

物流服务需求服从指数分布：D=Me^-kpq.其中：k为客户对需求的敏感系数；p为客户所接触到的物流服务的价格；q为FLSP提供物流服务的质量缺陷水平.在LSSC运作过程中，M-FLSP决策自身提供的物流服务的质量缺陷担保水平为q₀，来实现自身收益最大化.实际物流服务质量缺陷服从指数分布，其密度函数为f(q)=(1/μ)e^-(q/μ).如发生供应中断，S-FLSP需提供M-FLSP无法提供的物流服务，S-FLSP的物流服务单位成本更高，物流服务价格也相对更高，此时S-FLSP可获得稳定的收益.假定M-FLSP发生供应中断的概率Φ(0<Φ<1)恒定，且在供应中断条件下能提供部分物流服务，其数量比例恒定为γ(0<γ<1).

LSI在LSSC中处于领导地位，FLSP在提供物流服务时，LSI可选择质量监督或不监督.选择质量监督，需支付质量监督成本C：C(ξ)=1/2αξ².其中：α为质量监督努力成本系数；ξ为质量监督的努力水平.当LSI通过质量监督发现FLSP存在质量缺陷问题，LSI就会采取惩罚，对FLSP提供的物流服务进行打折，折扣价为r(0<r<1).如果选择不监督，如出现质量缺陷问题，FLSP不需承担任何责任.FLSP提供的物流服务质量达不到实际质量要求，客户对LSI采取惩罚，索要赔偿，单位惩罚价格为η.C₁,C₂为M-FLSP和S-FLSP提供的物流服务单位成本；C₃为供应中断时，S-FLSP提供中断下物流服务的单位成本.LSI进行订单分配时，分配的数量比例是恒定的：β(0.5<β<1),β分配给M-FLSP，1-β分配给S-FLSP.LSI制定契约，吸引FLSP参与LSSC运作时，必须满足两者的保留收益，分别为Π₀^M,Π₀^S.

LSI可进行两种决策：①物流服务质量监督努力水平ξ；②物流服务的分配比例β.LSI具有风险规避特征，运用CARA效用函数：U(x)=-e^-ρx.其中：ρ(ρ>0)为风险规避程度，ρ越大说明规避风险程度越高.当ρ=0时，为风险中性.根据Matsui^[12]对CARA函数的处理方法可得LSI的期望效用函数为E[U(Π_I]=U{E(Π_I)－(1/2)×ρσ²[p₀－γβp₁－(1－β)p₂－β(1－γ)p₃]²}，LSI与FLSP的目标函数由收益最大化转为效用最大化.其中:p₀为LSI提供给客户的物流服务单位价格；p₁，p₂为M-FLSP和S-FLSP提供给LSI的物流服务单位价格；p₃为供应中断时，S-FLSP提供给LSI物流服务的单位价格.需求函数为D=Mexp(-kqp)+ε.其中：M为市场规模； k>0为顾客对价格、质量的敏感系数；p为给定价格；q为质量缺陷；ε是市场需求不确定性的部分，服从ε~N(0,σ²).S-FLSP无决策变量，不参与LSSC博弈，S-FLSP根据LSI与M-FLSP的决策结果，得到期望效用，假定M-FLSP，S-FLSP都为风险中性.

LSI为风险规避型，则ρ>0，期望效用函数为

M-FLSP的期望效用函数为

因为M-FLSP为风险中性，则ρ=0，所以，

S-FLSP的期望效用函数为

因为S-FLSP为风险中性，则ρ=0，所以，

令，解得

恒成立，所以β^*为E[U(Π_I]最大值点.

令，化简得

根据Cardano公式，解得

证明    解关于LSI订单分配系数β及质量监督努力水平ξ的函数关系h(β,ξ)，根据h(β,ξ)构造海塞矩阵(Hessian matrix)：

经判定，H_β(h)，H_ξ(h)都为负定矩阵，则原目标函数都含有最大值.

综上所述，在Stackelberg博弈下的均衡解为

参数取值见表 1.

表1(Table 1)

表1 参数取值 Table 1 Parameter values 参数 值 参数 值 参数 值 参数 值 μ 0.1 p 0 55 γ 0.85 C 3 25 k 0.1 p 1 30 r 0.15 C 1 20 η 5 p 2 45 ρ 0.5 C 2 22 α 6 p 3 50 σ 5 M 3 0000

表1 参数取值 Table 1 Parameter values

1) ξ，q₀与β之间的关系.ζ∈[0.3,1],q₀∈[0.850,0.867]，仿真结果如图 2所示.当LSI质量监督努力水平ξ一定，LSI的订单分配比例β随q₀增大而增大；当q₀一定，LSI的订单分配比例β随ξ增大而增大.

图2(Figure 2)

图2 ξ，q0与β之间的关系 Fig. 2 Relations among ξ, q0and β

2) ξ，β与U(Π_I)之间的关系.β∈[0.5,1],ξ∈[0.3,1]中，LSI的效用如图 3所示.当β一定，ξ接近于0.07时，LSI期望效用达到最大；ξ∈[0,0.07]，LSI的期望效用随ξ的增大而增大.因为质量努力水平较低，产生的质量监督成本也较低，但是可以获得较高的惩罚成本，所以，总体期望效用是呈上升趋势的.但是当ξ∈[0.07,1]时，LSI的期望效用随ξ的增大而减小.因为此时质量监督努力水平高，产生的质量监督成本较高，即使高监督努力水平带来更多惩罚折扣，并不能弥补质量监督成本，所以期望效用呈递减趋势.

图3(Figure 3)

图3 ξ，β与U(ΠI)之间的关系 Fig. 3 Relations among ξ, β and U(ΠI)

3)ξ，β与U(Π_F^M)之间的关系.β∈[0.5,1],ξ∈[0,1]，M-FLSP的效用U(Π_F^M)随ξ与β的变化趋势如图 4所示.当ξ一定，M-FLSP的效用随β增大而增大，因为β表示M-FLSP所得的物流服务分配比例，β越大，M-FLSP的收益越大，效用就越大，且当β=1时，M-FLSP的效用达到最大.当β一定，M-FLSP的效用随ξ减小而增大，ξ减小，LSI的质量监督力度下降，M-FLSP被LSI的惩罚就会下降，M-FLSP的损失降低，故效用总体呈递增趋势.

图4(Figure 4)

图4 ξ, β与U(ΠFM)之间的关系 Fig. 4 Relations among ξ, β and U(ΠFM)

选取ξ∈[0,1]，β∈[0.5,1]，S-FLSP的期望效用随ξ与β的变化趋势如图 5所示.在β一定的条件下，S-FLSP期望效用随ξ增大而减小.因为ξ减小时，即LSI的质量监督努力水平不高，M-FLSP就会降低质量缺陷担保，以求得到更多的物流服务需求，物流服务总需求量的增大，S-FLSP所得物流服务订单量也相应增加，故S-FLSP期望效用也增大，且当ξ趋近于0时，S-FLSP期望效用达到最大.

图5(Figure 5)

图5 ξ,β与U(ΠFS)之间的关系 Fig. 5 Relations among ξ,β and U(ΠFS=)

在ξ一定的条件下，S-FLSP期望效用随β增大而减小，根据需求函数可知，β越大，M-FLSP所得的物流服务订单量就越大，而S-FLSP所得的物流服务量就变少，所以S-FLSP期望效用逐渐变小，且当β等于临界值0.5时，S-FLSP期望效用达到最大值.

本文建立了供应中断下考虑风险规避的物流服务质量控制模型，运用Stackelberg博弈进行求解，通过数值仿真知，LSI的期望效用总体上随LSI质量监督努力水平的增大而减小，随物流服务订单分配系数的增大而增大，M-FLSP的收益随LSI订单分配系数的增大而增大，随LSI质量监督努力水平减小而增大.未来的研究可考虑多个参与者的风险态度下三级或者四级LSSC的质量控制问题.