永磁同步电机具有高转矩/惯量比、高功率密度、高效率、体积小、响应快、运行可靠等优点，因此在电动汽车领域的应用越来越普及^[1].随着车用永磁同步电机向高转速与大功率方向发展，受机电耦合作用的影响及系统的非线性特性，车用永磁同步电机转子的扭转振动问题在电磁激励和发动机等激励的作用下将更为复杂与突出.

在机电传动系统的扭振模型方面，文献^[2]建立了大型发电机与负载转子系统合成的统一的双质量机电耦合传动系统模型，研究了发电机的起动以及串联补偿电容等非平稳过程由机电耦合引起的扭转振动现象.电磁激励是影响系统机电耦合非线性动力学特性的重要因素，因此电磁激励是转子机电耦合振动分析首先要研究的问题.电磁激励的解析计算方法主要有能量法^[3]和麦克斯韦应力应变法^[4].文献^[5-6]采用麦克斯韦应力应变法建立了电机电磁激励解析模型，讨论了电磁激励对电励磁发电机转子系统横向振动特性的影响.文献^[7]进行了多个转子组成的发电机组转子机械刚度引起的固有频率和外力频率产生的二重共振问题；文献^[8]利用Hopf分岔理论与Floquet理论研究了系统电磁参数变化引起的自激振动，指出了转子系统失稳的机理及其变化规律；文献^[9-10]考虑了定子径向位移对发电机气隙磁场能的影响，研究了系统主共振分岔响应方程在开折参数和物理参数平面的转迁集和分岔图.

本文综合考虑转子扭转角对永磁同步电机磁动势的影响，从能量角度推导了电磁激励的解析式，从而建立了车用永磁同步电机与机械转子非线性扭转振动模型，采用多尺度法研究了永磁同步电机电磁参数激励非线性扭转振动系统在主参数共振情况下的近似解，导出了转子的频率响应方程，研究了机电参数对转子系统扭振的影响.

1 电磁激励分析与扭振动力学模型 1.1 永磁同步电机电磁激励

图 1是永磁同步电机运行于同步转速时根据双反应理论画出的永磁同步电动机的相矢图.E₀称为空载反电动势(V)，表示气隙空载基波磁场产生的电动势；E_δ为气隙合成电动势(V)；E_d表示气隙合成基波磁场直轴所产生的电动势，称为直轴内电动势(V)，为气隙合成基波磁场直轴气隙所产生的电动势；θ为功率角；φ为功率因数角；ψ为内功率因数角.

为了便于分析，作以下假设：永磁材料的磁导率与空气相同；铁心的叠压系数为1；旋转气隙磁场正弦分布，忽略磁场高次谐波的影响.图 2为永磁体与定子电枢相对位置关系，α为某一定子齿槽的中心线和某一永磁磁极中心线之间的夹角，称之为定转子之间的相对位置角.

车用永磁同步电机由PWM电压供电，当不考虑谐波影响时，定子电枢电流近似为三相对称正弦电流，因此定子气隙基波磁动势为行波方程：

(1)

式中：为定子基波磁动势幅值；N_w为每相绕组串联匝数；I₁为电流的有效值；k_w为基波磁动势的绕组因数，其等于节距因数k_p和分布因数k_d的乘积.

(2)

式中：y₁为绕组节距；Q_s为定子槽数.

根据永磁电机磁路分析原理，永磁体可以视为恒定的磁动势源，对于内转子表面式永磁同步电机，由永磁同步电动机的电动势相矢图可知，转子基波磁动势滞后定子基波磁动势相位π/2+ψ.因此，永磁转子基波磁动势可以表示为

(3)

其中：F_rm为转子旋转基波磁动势的幅值；p为永磁电机的极对数.

永磁同步电机负载运行，并且考虑电机转子轴的扭转角为φ时，则在定子坐标系中的基波合成磁动势可表示为

(4)

气隙磁导公式为

式中：μ₀为空气导磁系数(μ₀=4π×10⁷)；k_μ为磁饱和度.

永磁同步电机的气隙磁场能量为

(5)

式中：R为气隙的平均半径；l为转子有效长度.

当转子扭转角为φ时，电磁转矩为

(6)

其中，F_m=pπRlΛ₀F_smF_rm.

将含φ的三角函数展开并化简，即可得到作用于转子上的电磁转矩：

(7)

1.2 转子系统扭转振动模型

分析车用永磁同步电机传动系统与转子系统机电耦合扭转振动特性时，将轴系进行简化，等效为二质体机电耦合转子模型，如图 3所示.图中永磁同步电机转子和机械转子之间用弹性联轴器联接，电机的机座视为刚性.图中T_e为电磁转矩，T_L为负载转矩.

根据牛顿定律，二质体转子系统的扭转振动动力学方程写为

(8)

通过方程的变换得到：

(9)

当负载力矩和电磁力矩平衡时，转子的机械角速度Ω恒定.

(10)

消除转子系统的转动运动，方程(9)可以转换成关于相对扭振角α的扭振方程：

(11)

于是，可得到永磁同步电机转子系统扭振方程：

(12)

2 非线性方程的求解

采用多尺度法求解永磁同步电机转子系统的非线性扭振振动方程.本文考虑一阶近似解，忽略高阶响应的影响.基于传统的多尺度法^[11]，设式(12)的解的形式为

(13)

其中，T₀=τ，T₁=ετ，分别为快变时间尺度和慢变时间尺度.因此可获得微分算子：

(14)

系统定常运动情况下，方程(11)中的常量部分相互抵消.视阻尼力、电磁力矩、参数激发项为小项，在相应各项前面冠以系数ε：

(15)

将式(14)代入方程(15)，比较ε同次幂的系数可得到各阶近似线性偏微分方程组：

(16)

(17)

设方程(16)的通解为

(18)

式中，c.c.表示前面项的共轭复数，下同.

将式(18)代入式(17)，整理得到

(19)

研究转子扭转振动的主共振，激励频率Ω被认为非常靠近ω₀的值，引入调谐参数σ，激励频率写成

(20)

将式(20)代入式(19)并消除久期项：

(21)

复数A定义为极坐标的形式如下：

(22)

其中，a和β均是T₁的函数.

通过假设参数γ=σT₁-β，并将式(22)代入式(21)中分离方程的实部和虚部，则方程(21)可转化为自治微分方程：

(23)

3 系统稳态周期解的稳定性

考虑到稳态运动时，存在，将其代入式(23)有

(24)

因此，幅频响应方程和相频响应方程分别为

(25)

(26)

为判别弱非线性系统在主共振情形下的运动稳定性，设稳态周期解为(a₀,γ₀)，引入稳态周期解的扰动变量，令

(27)

式中，a₁，γ₁为小扰动量.列出弱非线性系统在稳态值附近的一阶近似扰动方程：

(28)

其中，矩阵C为雅克比矩阵.由此可得到特征方程：

(29)

展开并整理后得

(30)

式(30)中μ>0，因此在满足式(31)时稳态运动是不稳定的，否则是稳定的.

(31)

4 结果和分析

以下计算中，如无特殊声明参数取值为 J₁=0.0673kg·m²，J₂=0.172kg·m²，k_φ=0.15×10⁶N·m/rad，R=67×10^-3m，d₀=2×10^-3m，k_δ=1.1，L=0.25m，μ₀=4π×10^-7，p=3，B_r=1.28T，h_m=4×10^-3m，α_p=0.85，N=168，k_w=0.921，I=168A，μ=1.03，M=100N·m，Ω=200rad/s.

图 4反映了ω₀随内功率因数角ψ的变化.从图中可以看出，当内功率因数角0<ψ<π/2时，ω₀随内功率因数角的增大而减小，下降幅度高达22%；当内功率因数角π/2<ψ<π时，ω₀随内功率因数角的增大而增大.因此，内功率因数角是影响转子扭振振动固有频率的重要电磁参数，车用永磁同步电机控制时需要合理控制内功率因数角的范围.

图 5a反映内功率因数角ψ对幅频响应的影响.可以看出当内功率因数角ψ=0时，由式(12)可知转子系统为线性强迫振动系统，幅频响

应曲线是对称的.当ψ≠0时，转子系统扭振方程为非线性系统，对于特定的参数σ，系统有3个稳态解，其中有2个是稳定的，1个是不稳定的.对于车用永磁同步电动机，电机的电流矢量相位滞后于反电动势相位矢量，内功率因数角为正，因此永磁同步电动机的扭振幅频响应曲线表现为软特性.

图 5b对比了永磁同步电动机不同极对数对幅频响应曲线的影响，极对数越大，永磁同步电动机扭转振动的主共振区与失稳区也越大.因此车用永磁同步电机极对数设计时应综合考虑转子系统扭转的影响，避免转子系统发生共振.图 5c对比了永磁同步电动机不同磁饱和系数对频率响应曲线的影响，与极对数的影响类似，磁饱和系数对共振幅值的影响很小，磁饱和系数只影响共振区大小，共振区与失稳区随着磁饱和系数的增大而缩小.

图 5d反映了转子系统扭振刚度对幅频响应曲线的影响.可以看出，随着扭振刚度的增大，转子扭转振动的幅值在减小，同时共振区间与失稳区也在缩小.增大扭转刚度可以抑制转子系统的扭转共振.图 5e所示为转子系统负载激励对幅频响应曲线的影响.随着负载干扰力矩幅值M的增大，转子扭转振动的幅值在增大，同时共振区间与失稳区也在扩大.

5 结论

1) 本文以经典电机理论与Maxwell理论为基础建立了车用永磁同步电机电磁激励模型；车用永磁同步电机转子扭转角对磁动势的影响引起的电磁激励是产生非线性扭转振动的主要原因.

2) 内功率因数角是影响转子扭振振动固有频率的重要电磁参数，车用永磁同步电机控制时需要合理控制内功率因数角的范围以避免扭转共振.

3) 车用永磁同步电动机的扭振幅频响应曲线表现为软特性，并且车用永磁同步电机内功率因数角越大、极对数越大、磁饱和越小，主共振区间扩大，使得不稳定区间也增大.永磁同步电机扭振刚度增大，转子扭转振动的幅值在减小，同时共振区间与失稳区也在缩小.干扰力矩增大，转子扭转振动的幅值在增大，同时共振区间与失稳区也扩大.