对于常见的单层圆柱面网壳，其稳定性能的研究已比较成熟完善^[1]，此类柱面网壳以圆弧线为准线；然而，国内外对其他拱向准线形式的单层柱面网壳结构的研究相对较少.在以往的研究中，许多学者对各种类型的网壳都进行了静力稳定分析，找出了网壳在设计与施工时的主要影响因素，并对此类结构作了大量参数化分析^[2-11] .贺拥军等提出了以倒悬链线为准线的单层柱面网壳，并作了大量参数化分析^[12] ；田伟^[13]对柱面网壳用力密度法进行了找形，并提出了以抛物线为准线的单层柱面网壳，但并未对这种网壳的受力性能作系统的研究.本文以抛物线作为柱面网壳的拱向准线，形成抛物线型单层柱面网壳，运用通用大型有限元软件ANSYS，深入系统地对比分析了这种网壳结构的静力稳定性能.

本文首先对三种拱向准线形式单层柱面网壳进行极限稳定承载力分析，这三种拱向准线包括倒悬链线、抛物线、圆弧线，比较得出抛物线型单层柱面网壳的优势和不足.然后从大规模的参数分析入手，研究各种参数对抛物线型单层柱面网壳结构的极限荷载的影响,包括长跨比、矢跨比、杆件截面面积、初始几何缺陷以及荷载不对称分布等.最后，对抛物线型单层柱面网壳在结构上进行优化设计，包括拱向斜杆相交角、拱向网格间距分布等.

1 结构分析模型与稳定性能对比

在未经说明的情况下，本文选取如图 1所示的三向网格形式的单层柱面网壳，沿拱方向，网壳的跨度为S=30 m，沿拱线等分为12份，取4种不同的矢跨比：f/S=1/5，4/15，1/3，2/5；在网壳的纵向，选取4种不同的长跨比：L/S=1，1.5，2，2.5.网壳结构杆件采用圆钢管，为符合工程实际，其截面尺寸均为工程上常用的截面尺寸 180 mm×6 mm.支座形式选用周边支承：纵向边固定铰支，两端边铰支只限制平面内位移，允许纵向位移.在ANSYS的单元选取中，本文采用beam189单元，钢材的弹性模量E=2.06×10⁵ N/mm²,泊松比μ=0.3，杆件节点采用刚性节点.

本文利用弧长法得出结构的荷载-位移曲线，以荷载-位移曲线的最高点作为结构的极限荷载.由于柱面网壳的失稳大多是大变形情况下的弹性失稳，故本文分析中仅考虑结构的几何非线性，而忽略结构的材料非线性.对三种拱向准线的单层柱面网壳进行极限稳定承载力的对比分析，通过各自的荷载-位移曲线，对比分析结构的极限荷载与刚度的提高情况，其中这三种拱向准线包括：倒悬链线、抛物线、圆弧线.

分析三种不同准线形式的单层柱面网壳在长跨比L/S=1.5，矢跨比变化时的极限荷载可知：当矢跨比相同时，倒悬链线型网壳和抛物线型网壳的极限荷载相近，都高于圆柱面网壳的极限荷载，且当矢跨比增大时，这一优势也随之增加.

三种不同准线的网壳在长跨比L/S=1.5、矢跨比f/S=1/3时的荷载-位移曲线如图 2所示.

由图 2可以看出，在相同荷载的作用下，倒悬链线网壳和抛物线网壳的位移比圆柱面网壳小很多.由此可见，倒悬链线网壳整体刚度较大，抛物线网壳的整体刚度适中，圆柱面网壳的整体刚度较小；但相对地，圆柱面网壳的延性比另外两种网壳更好.

2 屈曲模态

为了解抛物线型单层柱面网壳结构的薄弱部位，得到该结构最先失稳的区域，现对结构进行屈曲模态分析，结果表明，抛物线型单层柱面网壳在竖向均布荷载作用下，可能出现如图 3所示的一些屈曲模态.由图 3可以看出：

1) 当荷载对称布置时，网壳的屈曲模态有以下两种：当长跨比较小(L/S≤2)时，网壳的屈曲模态呈跨中下凹，两侧向外对称隆起的形式，如图 3a所示；当长跨比较大(L/S≥2)时，网壳的屈曲模态呈两侧对称下凹，跨中隆起的形式，如图 3b所示.

2) 当荷载不对称布置时，网壳的失稳形式只有一种，承受荷载的一侧向下凹陷，另一侧则稍向外隆起，如图 3c，图 3d所示.

3 几何参数分析

为进一步全面了解抛物线型单层柱面网壳的静力稳定性能，本节从大规模参数入手，分析结构的长跨比、矢跨比、杆件截面尺寸等因素对结构稳定承载力的影响，为抛物线型单层柱面网壳的应用提供指导和参考依据.

3.1 长跨比及矢跨比对极限荷载的影响

随着长跨比L/S和矢跨比f/S的变化，抛物线型单层柱面网壳的极限荷载变化如图 4所示.

由图 4可以看出，在矢跨比不变时，随着网壳长跨比的增加，网壳纵向约束减小，网壳的极限荷载随之呈线性减小.同时可以看出，当长跨比不变时，矢跨比增大，极限荷载随之呈抛物线增大.

3.2 杆件截面尺寸对极限荷载的影响

为研究杆件截面尺寸对抛物线型单层柱面网壳影响，选取工程上常用的截面尺寸：152 mm×6 mm，168 mm×6 mm，180 mm×6 mm，194 mm×6 mm.并根据拟壳法，采用网壳的等效刚度K_e来表示网壳杆件截面的大小，其求法详见文献^[14].采用控制变量法得出网壳的极限荷载随等效刚度的变化规律为：当长跨比和矢跨比不变时，随着等效刚度K_e的增大，网壳的极限荷载也随之增大，且大致呈线性增长关系.

4 初始几何缺陷对极限荷载的影响

针对网壳初始几何缺陷这一影响，选用长跨比L/S=1.5，矢跨比f/S=1/5,4/15,1/3,2/5的4种抛物线型单层柱面网壳，分析其在满跨均布荷载作用下考虑初始几何缺陷时的稳定性能，初始缺陷模态与特征值最低阶屈曲模态相一致.当S=3 000 cm时，缺陷值依次为0,3,3.75,5,7.5,10 cm.为节省篇幅，给出L/S=1.5，f/S=1/3时，网壳在考虑初始几何缺陷时的荷载-位移曲线如图 5所示，其余3种矢跨比的网壳具有与图 5相似的规律.这4种情况下网壳的极限荷载与初始几何缺陷的关系曲线如图 6所示.

由图 5和图 6可以看出，对不同矢跨比的网壳，其极限荷载随初始几何缺陷的变化趋势是一致的，在初始几何缺陷很小(r≤S/1 000)时，网壳的极限荷载急剧减小，随着初始几何缺陷的增加，极限荷载减小的趋势逐渐趋于平缓.初始缺陷对网壳的静力稳定性能影响较大，所以控制网壳的初始几何缺陷，抛物线型网壳的线型优势才能得到充分发挥.

5 荷载不对称对极限荷载的影响

针对网壳荷载不对称这一影响因素，采用矢跨比为1/3，而长跨比变化的4种抛物线型单层柱面网壳结构，分析其在考虑不对称荷载时的稳定性能.不对称荷载的作用形式为活荷载半跨布置，活荷载p与恒荷载g的比值依次取p/g=0，0.25，0.5，0.75，1.00，不考虑结构初始几何缺陷，网壳的极限荷载如图 7所示.

从图 7可以看出，随着活荷载与恒荷载比值p/g的增大，网壳的极限荷载变化不大，在网壳的长跨比L/S=1.5时，极限荷载减小幅度最大为17.1%.说明结构对不对称荷载不敏感.

6 极限承载力公式拟合

由前面的参数分析可知，长跨比、矢跨比、截面面积和初始几何缺陷是影响结构极限荷载的主要因素，且有如下规律：长跨比与极限荷载呈线性关系，矢跨比与极限荷载呈抛物线关系；用截面的等效刚度来表示杆件截面大小时，杆件截面等效刚度与极限荷载呈线性关系；结构极限荷载对初始几何缺陷非常敏感，可在完善结构拟合公式基础上乘以某一系数进行修正.荷载不对称对结构的极限荷载影响则十分有限，拟合公式时可以忽略.

根据以上参数与极限荷载之间的关系，首先构造拟合公式的形式，然后再由分析数据通过最小二乘法得到公式中的系数.最终得到完善结构极限荷载的拟合公式如下：

为验证此公式的精确性，将此拟合公式计算所得结果同利用ANSYS程序计算分析结果进行对比，两者对比结果如表 1所示，其中定义误差为

从表 1可以看出，按公式计算的结果相比按程序计算的结果，其误差几乎都控制在9%范围内，所以公式计算抛物线单层型网壳的极限荷载是可以接受的.

根据《空间网格技术规程》^[12]4.3.3节规定，单层网壳初始几何缺陷最大值可按网壳跨度的1/300取值.再根据第4节分析数据，对具有S/300初始几何缺陷的抛物线型单层网壳的极限荷载降低系数进行统计，得到其平均值和标准差分别为0.53和0.039，按照结构可靠度要求(95%的保证率)，极限荷载降低系数可取0.47.

7 网壳结构的优化设计

网壳结构的优化有增加拱向立体桁架、改变杆件的布置方式等.本节主要从改变杆件的布置方式入手，探究拱向斜杆相交角和拱向网格间距分布的优化.

7.1 拱向斜杆相交角优化

对于三向网格形式的抛物线型单层柱面网壳，结构中的荷载主要由拱向的斜杆传递和承担，斜杆间的相交角对网壳的极限荷载影响显著.本节选取长跨比L/S=1.5，而矢跨比不同的4种抛物线型单层柱面网壳，研究其在改变拱向斜杆角β的情况下，极限荷载的变化趋势.为便于研究斜杆相交角β对网壳极限荷载的影响，现用网格纵向杆件的长度l表征β的变化，l与β的关系如图 8所示.网壳的极限荷载随l的变化情况如图 9所示.由于杆件布置形式不同而引起网壳用钢量T发生变化，故采用极限荷载q_cr与用钢量T的比值q_cr/T表示极限荷载的变化情况.

从图 9可以看出，对于矢跨比相同的网壳，随着网格纵杆长度l的增大，网壳的极限荷载先增大再减小.这意味着网壳中斜杆相交角存在最优值.这个最优值可以通过网壳极限荷载取得极大值时斜杆相交角β与网格纵向杆件的长度l的关系(图 8)得出.通过计算，不同矢跨比的拱向斜杆相交角的最优值如表 2所示.

从表 2可以看出，抛物线型单层柱面网壳的拱向斜杆间的最优角在50°左右.

7.2 拱向网格间距分布优化

在传统的网壳中，杆件的长度采取等分拱线的分隔形式，使得每一根拱向杆件的长度相等.本节采用拱向网格间距从边缘到跨中按等比数列分布的形式，研究在这种分隔形式下网壳的稳定承载力.所采用等比数列的比值有7种：α=0.8，0.85，0.9,0.95，1，1.05,1.1.网格间距分布形式如图 10所示.

对长跨比L/S=1.5，而矢跨比不同的4种网壳进行极限承载能力分析.结果表明，在长跨比和矢跨比不变时，随着等比数列比值α的增大，网壳的屈曲模态由图 3a所示的横截面形式逐渐转化为图 3b所示的形式.网壳的极限荷载随比值α的变化如图 11所示.

从图 10和图 11可以看出，对于相同矢跨比的网壳，随着比值α的增大，网壳的屈曲模态逐渐发生变化，相应地，网壳的极限荷载先增大后减小.这说明，网壳的拱向网格间距分布存在最优的分布形式，使得网壳的极限荷载达到极大值.当矢跨比较小时，此极大值在比值α较大处取得；当矢跨比较大时，此极大值在比值α较小处取得.随着矢跨比的变化，比值α的最优取值在0.85到0.95之间.

8 结论

1) 抛物线型单层柱面网壳和倒悬链线单层柱面网壳的静力稳定性能相近，与传统圆柱面网壳相比，极限荷载均有大幅提高，且二者的刚度比传统圆柱面网壳有所增大.

2) 抛物线型单层柱面网壳结构存在最优的斜杆相交角，使得其静力稳定性能最好，这个最优角在50°左右.

3) 抛物线型单层柱面网壳结构存在最优的拱向网格间距分布形式，使得网壳的静力稳定性能最好，最优的网格间距分布形式与网壳的矢跨比有关.按等比数列布置拱向网格间距时，比值α的最优取值在0.85到0.95之间.