近年来探月工程发展迅速，实施月面巡视探测任务的月球车也成为国内外研究的重点内容^[1-2].其中载人月球车(LRV)可以搭载航天员到达距离登月舱较远的地方^[3-5]，并运送大量的月球采样样品，完成多种探测任务，因此，以载人月球车为主的月面活动技术是载人探月及建立月球基地的关键技术.载人月球车移动系统作为承载平台不仅要承担一定的质量，还要保证宇航员在行驶中的安全，同时在月球上驾驶载人月球车时，宇航员面对的是未知的地形环境^[6]，需要避让岩石或陨石坑等障碍，因此要求月球车在月球重力下具有较好的操纵稳定性.

载人月球车操纵逆动力学方法不需要建立驾驶员模型，就可以反求出驾驶员对汽车施加的操纵输入^[7-8].在月球条件下的驾驶员模型也比较难获得，采用操纵逆动力学方法对载人月球车的操纵动力学特性进行研究，得到相应的车轮操纵转角，将会解决虚拟样车设计阶段中载人月球车最佳行驶性能的动态仿真与控制等关键问题.

载人月球车逆动力学的研究思路与“正问题”的方法不同，它是在已知载人月球车模型、运动状态的基础上，反求得所允许的宇航员操纵输入，进而分析什么样的操纵，才是大多数驾驶员所容易接受的，行驶最安全和最快速的^[9].

本文为了保证载人月球车在行驶过程中，不存在轨迹路线的曲率突变，要求行驶轨迹的函数为曲率连续的函数.针对各种不同的工况，进行曲率连续的轨迹函数数学模型的建立，分析月-地不同重力条件对宇航员驾驶载人月球车所带来的影响.

1 载人月球车动力学逆系统建模

根据达朗贝尔原理，可得如下动力学方程：

(1)

式(1)中的相关参数如表 1所示.

定义载人月球车航向角γ=β+ψ，轨迹坐标(p_x,p_y)，初始时载人月球车航向角为0，轨迹坐标为(0,0)，则载人月球车轨迹坐标与航向角的关系式可表示为

(2)

定义载人月球车状态变量$x\left( t \right)={{\left[ \dot{\psi }\psi \beta \dot{k}k \right]}^{T}}$，输出变量γ(t)=ψ+β，联立方程(1)和(2)可得载人月球车航向角输出的状态方程：

(3)

由式(3)可以得到载人月球车宇航员操纵输入和航向角输出关系的正动力学系统，下面求解相应的逆动力学系统.定义性能指标^[10]：

(4)

其中:Q和R为权重系数矩阵；(t)为当载人月球车按照预定轨迹路线行驶时的航向角时间函数.并可以看出当性能指标J越接近0时，载人月球车与预定轨迹路线越接近，同时，为了保证δ_f的物理可实现性，系数矩阵R不能为零矩阵.此时，上述载人月球车逆动力学系统的求解问题可以转化为二次型最优输出跟踪问题的求解.

2 曲率连续轨迹函数的数学模型 2.1 曲率连续的”8”字形轨迹模型

载人月球车沿固定的“8”字形轨迹匀速行驶，可以用于评价载人月球车的转向轻便性能以及路感的好坏.采用曲率连续的轨迹函数，双纽线的极坐标方程表示为

(5)

式中：r为“8”字形轨迹的极径(m)；ν为极径与直角坐标系中x轴的夹角(极角)(rad).

该极坐标轨迹函数的优点是曲率连续，并且在原点处曲率为0，即当载人月球车沿p_x轴直线驶入式(5)的轨迹中时，可以始终保持曲率连续地进入“8”字形轨迹，而并不需要过渡曲线的连接.直角坐标系中的坐标参数方程为

(6)

载人月球车由直线行驶，并驶入式(6)所示的曲线轨迹，如图 1所示.

2.2 曲率连续的正弦轨迹模型

为了保证载人月球车在行驶过程中不发生突变转向，则要求行驶轨迹的曲率为连续函数，相应的轨迹函数一阶和二阶可导且连续，此时载人月球车操纵器转向角和车轮转角、转向力矩，以及向心加速度都是连续变化的函数，此时的各参数与轨迹之间的关系能够提供有用的信息.首先载人月球车沿p_x轴直线行驶，然后驶入正弦函数轨迹，如下式所示：

(7)

显然式(7)在x=20处存在曲率不连续点，因此需要一段过渡函数，使载人月球车从直线行驶可以曲率连续地过渡到正弦函数轨迹上.

使载人月球车在p_x=5m处开始转向，驶入过渡函数，然后在p_x=25m 处驶出过渡函数，并驶入正弦函数轨迹.定义直线行驶阶段函数为

(8)

定义正弦轨迹行驶阶段函数：

(9)

定义过渡行驶阶段函数p_y2(p_x)，该函数为待求函数，为了保证载人月球车在3段轨迹函数上曲率均为连续，则有如下边界关系：

(10)

采用一个五次函数对过渡行驶阶段函数进行拟合，拟合函数为

(11)

由式(10)的边界条件可求得相应系数的取值.则综合式(8)，式(9)，式(11)可得载人月球车由直线驶入正弦轨迹的函数：

(12)

载人月球车由直线行驶并曲率连续地进入正弦轨迹行驶，路线轨迹如图 2所示，分为3个阶段：直线行驶阶段、过渡行驶阶段、正弦轨迹行驶阶段.

2.3 曲率连续的障碍躲避轨迹模型

首先不考虑曲率连续问题，将载人月球车躲避障碍行驶分为5个直线行驶阶段：初始直线行驶阶段、发现障碍并避让行驶阶段、完全避开障碍直线行驶阶段、返回行驶路线阶段和最终回归原直线行驶路线阶段.这5个阶段可表达为

(13)

显然，在每一个阶段轨迹进入到下一个阶段轨迹时，都会发生曲率不连续点，一共含有4个曲率不连续点.针对上述情况，对躲避障碍轨迹的第2阶段和第4阶段的轨迹函数进行更改，其余3个阶段均不发生改变.定义第2阶段和第4阶段轨迹函数为

(14)

同时式(14)与式(13)中的第1、第3和第5阶段的轨迹函数，应保证轨迹连续，一阶导数连续和二阶导数连续，则有

(15)

联立式(14)和式(15)，可解得各系数的取值.则综合式(13)，式(14)可得载人月球车躲避障碍的轨迹函数：

(16)

由式(16)可以得到载人月球车躲避障碍时，曲率连续的轨迹曲线，如图 3所示.

3 操纵逆动力学特性分析

阿波罗LRV的最快速度为5m/s，本实验室设计和开发的载人月球车原理样机的理论最快速度为3.5m/s，载人月球车最常采用的运行速度为2m/s，因此文中对这3个速度条件进行分析.相关的载人月球车动力学分析所需的参数如表 2所示.

宇航员在地球和月球重力条件下行驶“8”字形轨迹时，操纵转角如图 4所示.由计算结果可以看出，在不同重力条件下，宇航员操纵相同的载人月球车进行同轨迹行驶时，地球重力下所需做出的操纵输入最大转角和操纵转角输入的斜率均要小于月球重力下所需做出的操纵，即在月球重力条件下需要做出比地球重力条件下更大幅度和更快速的操纵.随着行驶速度的升高，地球重力条件下与月球重力条件下的操纵差异变大，当车速达到5m/s时，月球重力条件下的车轮最大转角超过1.5rad，而这超出了载人月球车车轮的最大转角，也就是说宇航员无法在月球重力条件下以5m/s的速度行驶出指定的轨迹.但是，在地球重力条件下，车轮转角始终在较小范围内变化，相应的载人月球车可以行驶出指定的轨迹.

当宇航员在月球和地球重力条件下载人月球车行驶正弦轨迹时，载人月球车的相关参数如表 2所示，相应的宇航员操纵转角的计算结果如图 5所示.由图 5可以看出与“8”字形轨迹具有相同的趋势.

除此之外，由图 5中的求解结果还可以发现，在月球重力条件下的宇航员操纵转角比地球重力条件下的切换轨迹行驶的阶段(由直线行驶过渡到正弦轨迹的阶段)出现了更多的峰值，这说明在月球重力条件下，宇航员在切换路线时为了保证行驶轨迹的稳定，需要做出更频繁的操纵.主要原因是载人月球车由直线行驶过渡到正弦轨迹行驶的过程中，轨迹曲率变化较大，因此在实际宇航员的操纵过程中进行路线切换时应减慢车速行驶. 当宇航员在月球和地球重力条件下载人月球车行驶障碍躲避轨迹时，载人月球车的相关参数如表 2所示，相应的宇航员操纵转角的计算结果如图 6所示.

从图 6的计算结果可以看出，宇航员在月球重力条件下比地球重力条件下需要做出更大幅度、更快速以及更频繁的操纵.宇航员在障碍开始躲避和躲避障碍后返回初始路线的轨迹切换阶段，曲率变化较大，导致了宇航员操纵输入较为剧烈的变化.

载人月球车行驶速度和轨迹曲率半径直接相关，并有a =v²/ρ的函数关系.从函数关系式中可以看出，当轨迹曲率半径ρ一定时，随着行驶速度v的升高，会导致侧向加速度a的增大，从而引起载人月球车的侧滑，并最终导致驾驶员无法按照预定轨迹行驶，而发生危险.另外，当行驶速度v一定时，随着轨迹曲率半径的减小，侧向加速度a也同样会增大.因此，月球车在遇到较小曲率半径时应降低速度行驶，这也与图 4~图 6所得到的结论相一致.

4 结论

1) 曲率连续的轨迹路线数学模型作为载人月球车逆系统的输入，得到的车轮转角输入不存在突变，且是连续变化的函数，具有物理可实现性.

2) 宇航员在进行路线切换和曲率变化较大的路线轨迹上行驶时，所需做出的操纵输入变化较为剧烈，在实际行驶过程中应减速通过.

3) 宇航员在月球重力条件下驾驶载人月球车时，需要比地球重力条件下更快的反应速度，更大的操纵幅度，以及更频繁的操纵变换.