Markov跳变系统是一类包含多个模态的重要随机混杂系统，是Krasovskii和Lidskiid于1961年建立的^[1].在过去的几十年里，由于能更好描述许多实际系统的特性，例如故障诊断系统^[2]、制造系统^[3]等，Markov跳变系统引起了很大关注.关于这类问题的研究大都基于转移概率完全已知的情况.然而，考虑实际过程中的复杂因素，转移概率只有部分得到.所以，转移概率部分已知的Markov跳变系统的研究得到了越来越多的关注，包括稳定、镇定^[4]、时滞^[5]等.

另一方面，出于执行器幅值的限制或者安全因素的原因，执行器饱和的存在严重影响系统性能甚至导致系统不稳定.所以，对执行器饱和的研究有很大的实际意义.近年来，越来越多的学者也研究这类问题，如在稳定性分析与镇定^[6]、容错控制^[7]、时滞^[8]、Markov跳变^[9]等方面.同时，随机系统的研究也已成为热点，例如网络控制^[10]、扰动^[11]和多时滞^[12].然而，考虑带有执行器饱和的Markov跳变系统的相关文献却很少.

现有的文献大都建立在Lyapunov稳定基础上，意味着系统在无限时间范围内是稳定的.相对于Lyapunov稳定性，有限时间稳定性意味着状态在固定时间区域内不会超过一定的界限^{[13 - 15]}.值得关注的是有限时间稳定并不意味着Lyapunov稳定.如果系统响应的瞬态超过预定的界限，Lyapunov稳定并不包含有限时间稳定.

研究一类转移概率部分已知的随机Markov饱和跳变系统的非脆弱有限时间镇定问题，通过参数依赖型Lyapunov函数和自由权矩阵方法，设计了非脆弱有限时间状态反馈控制器并获得了吸引域的最大估计值.

1 问题描述及相关引理

考虑如下带有执行器饱和的随机Markov跳变系统：

(1)

其中：x(t)∈Rⁿ，u(t)∈R^m，w(t)分别是系统的状态、控制输入和标准的维纳过程；x₀，g₀和t₀分别为初始状态、初始模态和初始时间；A(g_t)，B(g_t)和W(g_t)为已知的具有适当维数的模态依赖常数矩阵.标准饱和函数σ^(·)定义为

其中σ(u_i)=sign(u_i)min{1，|u_i|}为符号函数.

本文将设计非脆弱状态反馈控制器：

(2)

其中：K(g_t)为控制器增益；ΔK(g_t)∈R^m×n(∀g_t=i∈S)为控制器增益的变化，可表示为

其中H_k(g_t)和Μ_k(g_t)为具有适当维数的常数矩阵，并且未知矩阵函数F_k(g_t，t)满足

令{g_t，t≥0}为连续Markov跳变过程，g_t为系统模态并且在集合S={1，2，…，N}上取值，转移概率矩阵Π={π_ij}，i，j∈S.

文中考虑转移概率部分已知，意味着在矩阵Π={π_ij}中只有一部分元素能够得到.对于i∈S，集合Sⁱ=S_kⁱ∪S_ukⁱ，其中

文中，令g_t=i.

定义1^[15] 对于给定的时间常数T，系统(1)(u(t)=0)是关于(c₁，c₂，T，R _i)有限时间稳定的，如果下列条件成立：x₀^TR_ix₀≤c₁⇒x^T(t)R_ix(t)＜c₂，∀t∈[0，T]，其中0＜c₁＜c₂，R_i>0.

对于任意矩阵P_i＞0，定义椭圆

引理 1^[9] 对于任意的矩阵K_i，F_i∈R^m×n，如果x(t)∈ψ(F_i)，则σ(K_ix(t))可表示为如下形式：

其中：ψ(F_i)={x(t)∈Rⁿ:|f_ijx(t)|≤1，j=1，2，…，m}，f_ij为矩阵F_i的第j行；U_v，U_v^－=[(I－U_v)∈ II，v=1，2，…，2^m，II 是m×m的对角矩阵的集合，其对角线上的元素为1或者0；η_v为标量，并且.

考虑控制器(2)，得到如下闭环系统：

(3)

引理 2^[16]T，M，N和F为具有适当维数的矩阵，其中F^TF≤I，则对于任意正数ε＞0，有

2 主要结论 2.1 有限时间稳定问题分析

定理1 对于给定的时间常数T，系统(3)是关于(c₁，c₂，T，R_i)有限时间稳定的，如果存在正标量ε_i，α，对称正定矩阵P_i∈R^n×n，对称矩阵Q_i∈R^n×n和F_i∈R^m×n，有以下不等式成立：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

其中：

此外，初始状态包含在集合n_i=1^NP_i)的吸引域内.

证明 选择Lyapunov函数为

(9)

其相应的无穷小算子为

考虑为对称矩阵，可以得到

(10)

根据引理2，存在正数ε_i使

成立.因此

其中.

对于∀j∈S_ukⁱ，如果i∈S_kⁱ，条件(4)~(5)和π_ij≥0(∀i，j∈S，i≠j)得到 Π _ij＜0 .另一方面，对于∀j∈S_ukⁱ，如果i∈S_ukⁱ，由条件(4)~(6)和，同样能够得到Π_ij＜0.

其次，对ΓV(x(t))＜αV(x(t))，t∈[0，T]两边积分得

(11)

即

(12)

定义并记和为的最大和最小特征值，则

(13)

(14)

所以可以得到

(15)

因此，系统是有限时间稳定的.由条件(8)，如果 x(t)∈ξ(P_i)，得到x(t)∈ψ(F_i).

证毕.

2.2 有限时间状态反馈控制器设计和吸引域估计

下面设计控制器并得到系统均方意义下吸引域估计值.假设如下最优化问题：

(16)

其中F_iq代表F_i的第q行.这里假设初始状态空间在一凸集中，表示为X₀∈C_o{x₀¹，…，x₀^ρ}，其中x₀¹，…，x₀^ρ是给定的在R ⁿ中的初始状态向量.如果a最大值a_max＞1，则初始状态 x ₀在均方意义下的吸引域内.

令β=a^－2，X_i=P_i^－1，Y_i=K_iX_i，D_i=F_iX_i，V_i=X_iQ_iX_i，注意问题(16)中的①等价于a²(x₀^g)^TP_ix₀^g≤1(g=1，2，…，ρ).应用Schur补引理，可得到

(17)

利用同样的方法，问题(16)中的③等价于

(18)

其中R_iq代表R_i的第q行.

对式(4)两边同时乘以对角矩阵diag{X_i，I，I}，可以得到

(19)

其中

下面的分析将不等式(19)分成两种情况.

情况1 当i∈S_kⁱ，应用Schur补引理，不等式(19)中相应参数为

(20)

其中：

情况2 当i∉S_kⁱ，应用补Schur引理，不等式(19)中相应参数为

(21)

其中：

对式(5)两边同乘X_i可得

(22)

对式(6)两边同乘X_i可得

(23)

定义和考虑，可以得到

(24)

和

(25)

式(24)等价于

(26)

式(25)等价于

(27)

综上所述可以得到下列优化问题：

(28)

如果β_min＜1(a_max＞1)，则初始条件在吸引域内并且系统(3)是有限时间稳定的.控制器增益的表达式为K_i=Y_iX_i^－1.

3 数值例子

四模态随机Markov跳变系统参数如下：

令c₁=1，c₂=10，T=10s，α=0.01.选择初始条件：x₀=[－1 1.5]^T，g₀=2.转移概率矩阵如下：

求解优化问题(28)可得β=0.1530＜1和状态反馈控制器增益参数如下：

图 1~图 3为系统模态、状态轨迹和轨迹x^T(t)R_ix(t).从仿真图看出，所求解的非脆弱状态反馈控制器使得初始状态属于凸集C_o{x₀¹}的系统(3)有限时间稳定.

4 结 语

本文针对执行器饱和Markov跳变系统的非脆弱有限时间镇定，设计了非脆弱有限时间状态反馈控制器.通过线性矩阵不等式的方式，实现了控制器和吸引域最大化的求解.