2017, Vol. 38
当外界激励的频率与结构固有频率特性接近时结构会发生共振，从而导致很大的振幅和动应力，严重危害结构安全.传统的结构动态设计中将参数当作确定性的值来处理，忽略了不确定性对于固有频率等结构动态性能的影响.然而，工程实际中由于材料参数的变异性、加工误差等因素导致实际结构的参数具有不确定性.近些年来，随着机械产品向着轻质、高速、高精度的方向发展，不确定性对固有频率等动态特性的影响越发显著，因此对于随机结构进行频率可靠性及可靠性灵敏度分析显得尤为重要.
文献[1]使用摄动法对频率可靠性问题进行了研究.文献[2]使用Monte Carlo方法对齿轮系统的共振可靠性问题进行了研究.文献[3] 通过建立固有频率特性的响应面模型研究了水下航行器的频率可靠性问题.
上述方法提供了频率可靠性及灵敏度分析的有效途径.然而工程实际中常见的复杂结构通常借助于大型的商业有限元软件进行建模，得到的有限元模型往往具有几万甚至几十万上百万个自由度，这种情况下难以有效地进行可靠性分析.为此，本文结合随机响应面法、降维积分以及模型降阶法提出了一种针对复杂结构的频率可靠性及可靠性灵敏度问题的实用计算方法，并分别以转向架构架模型以及汽车车架模型作为算例对本文所述方法进行了验证.
1 共振问题的频率可靠性分析模型设结构的第l阶固有频率为ω(l)，结构所受的外界激励频率为p，为避免结构发生共振破坏，频率可靠性模型定义为
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其中：γ(l)为常数，表示第l阶固有频率的共振区间，一般取固有频率均值的0.1~0.15倍.
2 降维积分构建随机响应面代理模型 2.1 随机响应面方法随机响应面方法[4-6]源自于随机有限元的谱方法，基本思想是使用Hermite随机多项式(即混沌多项式)来拟合输入和输出之间的关系，即结构的输出y可以表示为一系列Hermite随机多项式的和:
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其中：ξ=(ξ1,ξ2,…,ξnp)为独立标准正态随机变量的向量；np为结构输入随机变量的个数；M为Hermite随机多项式展开阶数.下标i=(i1,i2,…,inp)∈N0np，|i|=i1+i2+…+inp.
Ψi(ξ)定义为
Ψi(ξ)=φi1(ξ1)φi2(ξ2)…φinp(ξnp), 0≤ik≤M,k=0,1,…,np.
其中φik(·)是第ik阶Hermite多项式.
展开系数的计算式为
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(1) |
其中：E[·]是数学期望；
和普通的响应面方法相比，以Hermite正交多项式为基底构建的随机响应面函数能够逼近Hilbert空间中的任意函数，并且能够保证收敛性，有着更好的计算精度.
2.2 降维积分在随机响应面模型的构建过程中，如何计算展开系数至关重要.采用直接数值积分法计算量巨大，特别是当随机变量的数量较多时.Rahman等[7-8]提出了高维积分的降维法，这种方法通过将高维积分转化为若干简单积分的叠加形式来减少计算量.对于单变量降维积分，G(ξ)可以表示为
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(2) |
其中μj表示第j个变量的均值.将式(2)代入式(1)得到
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以含有6个随机变量的实际问题为例，每个随机变量采用6个积分点.直接积分法需要对结构进行66=46 656次重分析计算，若采用单变量降维积分则只需要进行6×6+1=37次计算，极大地减少了计算量.
3 结构重分析的模型降阶对于复杂的有限元模型来说，计算结构在每个积分点处的固有频率需要大量的时间.Zhang等[9-10]提出了PROM方法构建结构的降阶模型用于结构动力学重分析，PROM方法通过将复杂结构投影到由一组正交基底所构成的低维子空间上来达到模型降阶的目的.和其他重分析方法相比，PROM方法能在一定程度上保存原结构的相关信息，因而具有很好的稳定性和收敛性.
设结构的特征方程为
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(3) |
其中：K是刚度矩阵；M是质量矩阵；Φ是特征向量矩阵；Λ是由特征值构成的对角矩阵.
基底P一般由结构在若干个参数设计点处的特征向量构成，参数设计点的选择方法有多种，这里建议选取np+1个参数设计点，即
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记
将特征向量矩阵Φ投影到基底P上有
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(4) |
将式(4)代入到式(3)中，得到缩减之后的结构特征方程为
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(5) |
这样，原结构的特征值问题(式(3))就转化为模型降阶之后的特征值问题，通过求解式(5)即可得到原结构的固有频率和模态阵型.
4 可靠性分析及程序的编制 4.1 可靠性及灵敏度分析在构建的随机响应面模型的基础上，可靠性计算采用改进的一次二阶矩(AFOSM)方法.可靠性灵敏度分析使用随机响应面模型结合Monte Carlo方法进行抽样计算，可靠性灵敏度的计算公式为
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(6) |
其中：${{\hat{P}}_{\text{f}}}$为失效概率；θxi(k)为设计变量xi的概率分布的第k个参数； xj为Monte Carlo方法抽样的第j个样本；fX(·)为变量的联合概率密度分布；IF(·)为示性函数，当x落在失效域F内时，取值为1，否则为0.
为了消除量纲对可靠性灵敏度的影响，将式(6)归一化，得到归一化的灵敏度表达式为
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随机响应面及可靠性程序在Matlab中编写，模型降阶使用Nastran提供的二次开发语言DMAP编写，和其他有限元软件所提供的二次开发语言相比，DMAP能够深入Nastran的内核修改求解序列，具有很大的灵活性.在整个计算过程中，使用Matlab来调用Nastran，并读取Nastran的计算结果.
5 数值算例 5.1 转向架构架的固有频率及灵敏度分析转向架构架是高速动车组的关键部件之一，对列车的动力学性能有着重要影响.某转向架构架的有限元模型如图 1所示，采用Nastran的实体单元建模，一共划分了210 646个单元，结构的随机参数为材料的弹性模量E，剪切模量G，密度ρ，其概率分布特性如表 1所示.为避免车辆运行时发生共振，以构架的一阶固有频率不低于9.4 Hz为目标进行可靠性分析，可靠性分析模型为
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图 1 转向架构架示意图 Fig.1 Bogie schematic |
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表 1 随机变量概率分布特性(转向架构架) Table 1 Probability distribution characteristics of random variables (bogie) |
选取设计变量均值
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图 2 精度检验(转向架构架) Fig.2 Accuracy check(bogie) (a)—有限元解和降阶模型解比较； (b)—降阶模型解和随机响应面拟合解比较. |
采用2阶随机响应面进行拟合，使用单变量降维积分计算展开系数，每个随机变量采用6个积分点，降维积分只需要进行6×3+1=19次的重分析计算.随机抽取15组样本分别使用随机响应面模型和降阶模型计算，结果如图 2b所示，可以看出使用降维积分构建的随机响应面模型具有很高的拟合精度，与降阶模型的计算结果几乎完全一致.
AFOSM方法计算得到结构失效概率为2.339×10-3，Monte Carlo方法计算得到失效概率为3.013×10-3，两者计算结果基本一致.可靠性灵敏度的计算结果如表 2所示，灵敏度的绝对值越大表明对系统可靠性的影响越大，反之亦然；灵敏度为正值表明随着变量的增加失效概率增加，灵敏度为负值表明随着变量的增加失效概率降低.从均值灵敏度分析中可以看出，随着弹性模量E和剪切模量G增加，失效概率会降低，密度ρ的增加会导致失效概率增大.从标准差灵敏度的分析中可以看出，标准差的增加会导致失效概率的增大，这是因为随机变量的标准差越大，结构固有频率的分布越分散，因而失效概率会增大.
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表 2 可靠性灵敏度分析结果(转向架构架) Table 2 Result of reliability sensitivity analysis (bogie) |
某车架的有限元模型如图 3所示，整个车架在Nastran中采用壳单元建模，一共划分了100 824个单元.结构的随机参数包括：横梁的厚度t1，侧梁的厚度t2，材料的弹性模量E，剪切模量G，密度ρ，其概率分布特性如表 3所示.模态分析结果表明车架的第三阶固有频率与发动机怠速时的激励频率32 Hz较为接近，为避免发生共振对其进行可靠性分析，可靠性分析模型为
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图 3 汽车车架示意图 Fig.3 Chassis schematic |
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表 3 随机变量概率分布特性(汽车车架) Table 3 Probability distribution characteristics of random variables (chassis) |
选取设计变量Xdesign0=[E10,G0,ρ0,t10,t220], Xdesign1=[E0,G0,ρ0,t1,t20]和Xdesign2=[E0,G0,ρ0,t10,t2]处 的固有阵型组成基底并进行正交化，进而将原问题转化为一个150×150的矩阵的特征值问题.原模型进行一次特征值求解需要2 min，采用降阶模型后只需18 s即可完成一次计算.
采用2阶随机响应面进行拟合，降维积分计算展开系数时每个随机变量采用6个积分点，从而只需要进行6×5+1=31次的重分析计算即可.从图 4中可以看出，模型降阶法和随机响应面拟合的结果都具有非常高的精度.AFOSM方法计算得到的结构失效概率为5.230×10-3,Monte Carlo方法计算得到失效概率为5.460×10-3，两者计算结果基本一致.可靠性灵敏度的计算结果如表 4所示.从均值可靠性灵敏度分析中可以看出，弹性模量E和密度ρ对可靠性的影响最大，其次是横梁的厚度t1，侧梁的厚度t2，剪切模量G对可靠性的影响非常小.随着弹性模量E，剪切模量G以及侧梁厚度t2的增加，失效概率会降低，密度ρ和横梁厚度t1的增加会导致失效概率增大.从标准差灵敏度的分析中可以看出，变量标准差的增加会导致失效概率的增大.
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图 4 精度检验(汽车车架) Fig.4 Accuracy check (chassis) (a)—有限元解与降阶模型解比较； (b)—降阶模型解与随机响应面拟合解比较. |
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表 4 可靠性灵敏度分析结果(汽车车架) Table 4 Result of reliability sensitivity analysis (chassis) |
结合随机响应面方法、降维积分技术、模型降阶方法及商业有限元软件的二次开发功能，本文提出了一种实用的复杂机械结构频率可靠性及灵敏度的分析方法.数值算例表明所提出的方法具有很高的计算效率，极大地节省了计算时间,具有较高的计算精度，能满足工程实际要求.
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