2017, Vol. 38
2. 太原科技大学 应用科学学院, 山西 太原 030024
2. School of Applied Science, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030024, China
非线性演化方程被广泛用于描述许多重要的现象和动态过程, 比如流体力学、等离子体、生物学、光纤和其他工程领域.理论物理和非线性科学的进步使得可以构造这些非线性方程的精确行波解, 借助于数学符号软件Maple或者Mathematica可以直接寻找这些非线性方程的精确解.近年来, 许多对非线性物理现象感兴趣的学者研究了非线性演化方程的精确解的解决方案, 并提出许多有效的方法, 例如, 逆散射法[1]、Tanh函数法[2]、sine-cosine方法[3]、扩展Tanh函数法[4-6]、齐次平衡法[7]、F-expansion法[8]、首次积分法[9]及(G’/G)-函数展开法[5, 10]等.
Boussinesq[11]研究长波在浅水波表面传播的问题时, 首次导出Boussinesq方程, 简称Bq方程.它的行波解被Wazwaz[12]用Tanh函数法求得.如果Bq中4阶导数项的系数δ > 0, 则是线性稳定的, 用于描述微小的非线性弹性梁的横向振动[13], 被称为‘好的’Bq方程, 它的行波解被Mohyud等[14]用Exp-function法求得.当δ < 0时, 由于它的线性不稳定性, 被称为‘坏的’Bq方程[15], 一个2维的坏的Bq方程被提出用来描述表面重力波的传播, 特别是斜向波的正面碰撞[16], 它的行波解被Forozani等[17]用扩展Tanh函数法求得.Makhankov[18]从等离子体的流体动力学方程组中获得IBq方程, 该方程不仅可以用来近似描述长波在浅水水波中传播, 还可用于描述非谐单原子和双原子链的动力学与热力学特性[19].在真实的过程中，内部摩擦(流体类型的摩擦)同样扮演着重要的角色, 它产生于系统内部的不可逆过程中, 内部摩擦产生耗散, 耗散函数依赖于相对位移的时间导数, 因此, 有必要探究带流体阻尼(耗散项)的IBq方程[17].文献[20-21]都有涉及IBq方程柯西问题解存在性的研究, 但未见文章给出IBq方程的精确行波解.本文将使用标准Tanh和扩展Tanh法, 结合Maple符号计算软件分别得到它的精确行波解.
1 Tanh函数法与扩展Tanh函数法概述1) 首先, 考虑一个一般形式的非线性偏微分方程:
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(1) |
式中:u(x, t)表示未知函数; 下标t和x表示u(x, t对t和x的偏导数.为了找方程(1) 的行波解, 作行波变换:
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(2) |
式中, c为参数.结合下面的一些变化:
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把方程(1) 变换为非线性常微分方程:
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(3) |
2) 如果得到的常微分方程每一项都含有ξ的导数, 则可把这个常微分方程先关于ξ积分, 令积分常数为零得到一个更为简单的方程.
3) 假设一个新的独立变量y(ξ)=tanh(kξ), 会引出如下的导数变换式:
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则标准Tanh函数展开法解可拟设为一个关于y(ξ)的有限形式:
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(4) |
扩展Tanh函数展开法解的形式可拟设为
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(5) |
4) 参数m一般都为正整数, 为了确定m的数值, 平衡方程(3) 中的线性最高阶和最高阶非线性项的幂次.当m被确定后, 收集方程(3) 关于y(ξ)的系数, 令这些系数方程都为零, 当使用方程(4) 形式的拟设解时, 得到关于ai(i=0, 1, …, m)和k, c的方程组; 使用方程(5) 形式的拟设解时, 得到关于ai(i=0, 1, …, m), bi(i=1, 2, …, m)和k, c的方程组.使用Maple求解, 把求解结果代入方程(4) 或者(5), 就可得到拟设形式的行波解.
2 使用Tanh函数法求解带流体动力学阻尼的IBq方程带耗散项的IBq方程为
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(6) |
式中, v为非零常实数.把方程(6) 行波变换ξ=x－ct后, 关于ξ连续积分两次, 积分常数全设为零, 得
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(7) |
平衡U″和U2的幂次有
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引入独立变量y(ξ)=tanh(kξ), 标准Tanh函数法有限形式的拟设解为
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(8) |
把方程(8) 代入方程(7), 整理收集yj(0≤j≤4) 的系数, 并设置为零, 得到关于未知系数的非线性方程组:
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运用吴方法, 结合Maple求解这个方程组, 得到如下形式的4组8个解, 其中, v为非零常数.
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把这4组8个解分别代入方程(7), 结合独立变量y(ξ)=tanh(kξ), 得到原方程的双曲行波解, 依次为
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式中, u1, 2(x, t)分别表示扭结孤立子和反扭结孤立子.当c取正, k取负时为反扭结孤立子, v=2, 用Maple作解的图像如图 1a所示; 当c取负, k取正时为扭结孤立子, v=2, 用Maple作解的图像如图 1b所示.
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图 1 当v=2时, 解u1, 2(x, t)的三维图 Fig.1 3D plots of u1, 2(x, t) when v=2 (a)—反扭结孤立子；(b)—扭结孤立子. |
带耗散项的IBq方程为
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(9) |
扩展Tanh函数法有限形式的拟设解为
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(10) |
把方程(10) 代入方程(7), 整理收集yj(－4≤j≤4) 的系数, 并设置为零, 得到关于未知系数a0, a1, a2, b1, b2, k, c的非线性方程组:
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运用吴方法, 结合Maple求解这个方程组, 得到如下形式的4组8个解, 其中, v为非零常数.
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把这4组8个解分别代入方程(10), 结合独立变量y(ξ)=tanh(kξ), 得到原方程的行波解, 依次为
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通过对带流体动力学阻尼的IBq方程进行研究发现:虽然对Bq方程精确解的研究很多, 但IBq方程解的研究结果却很少.在本文中, 使用Tanh与扩展Tanh函数法分别得到了带流体动力学阻尼的IBq方程的精确解, 在Maple的帮助下, 过程简单、直接.带流体动力学阻尼的IBq方程行波精确解的获得, 为该类方程数值解的进一步研究提供了一定的参考.这两种方法非常简单, 可以应用于许多其他非线性偏微分方程.
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