凸度是带钢中心厚度与边部参考点厚度的差值，凸度和平直度是带钢板形质量的两个重要量化指标.对于热轧带钢，考虑到边部减薄和因轧辊磨损而引起的“边鼓”的影响，一般可取距离边部40 mm处作为参考点，此时的带钢中心厚度与参考点处的厚度之差称为C40.近年来，由于钢铁行业形势趋于严峻，下游用户对于产品质量的要求不断提高，凸度作为外形尺寸的重要指标日益受到重视.自从二十世纪六十年代弯辊用于板形控制以来，板形的控制水平得到持续提高，CVC，PC轧机等具有弯辊、窜辊功能或轧辊交叉功能的各种新型的轧机得到了大量使用，CVC，SMART-Crown，正弦曲线等辊形曲线也取得了良好的应用效果^[1-4].由于板形控制过程的复杂性，多数数学模型都对物理过程进行了简化，比如分割梁模型、简支梁模型、有限元法模型^[5]、影响函数法模型及条元法模型^[6]，以及采用上述方法基于理论和经验构建的经验模型.与热轧生产线上的轧制力、轧制力矩等参数的数学模型不同，目前仍没有能够在各轧线上通用的板形模型.本文作者所在的轧制技术及连轧自动化国家重点实验室开发了一套采用影响函数法确定基本参数、理论与经验相结合的板凸度和平直度控制模型，与北京金自天正智能控制股份有限公司合作，在中宽带钢热轧生产现场得到了应用，取得了良好的应用效果.

带钢凸度实质上是带钢断面形状的量化描述，可以采用四次曲线描述理想的热轧带钢的断面形状，忽略热轧带钢弹性变形的影响，带钢的断面形状可以看作是变形区出口处辊缝截面形状的映像，因此，所有能够影响变形区出口处辊缝截面形状的因素都是影响带钢凸度的因素.Ginzburg^[7]结合三维有限元分析结果，将带钢宽度、轧制力、工作辊直径、支撑辊直径、工作辊凸度、支撑辊凸度和工作辊弯辊力列为影响带钢凸度的主要因素.国内学者也围绕板凸度和平直度的影响因素问题开展了大量的研究工作.文献[8-10]结合宝钢2 050 mm热轧厂的NBCM改造项目，采用影响函数法轧辊弹性变形模型研究了热轧带钢在经过精轧机组某机架时各主要因素对产品凸度的影响及在一定条件下各影响因素对凸度影响效果的影响，各影响因素的相互关系如图 1所示.这些因素的影响效果不同，在某些条件下，某个影响因素可能会产生较为显著的效果.

图 1(Fig. 1)

图 1 热轧带钢凸度的影响因素 Fig.1 Influencing factors of center crown of hot rolled strip

带钢凸度控制模型由板形设定模型、反馈控制模型和前馈控制模型组成.板形设定模型的主要目的是采用数学方法，在负荷分配设定值的基础上，结合设备的板形控制能力和特点，在带钢翘曲度极限范围内完成比例凸度变化量在精轧机组内各机架的分配，并且为了实现该比例凸度变化曲线设定凸度和平直度控制参数的基本值.

对于精轧机组的某个机架，带钢的出口凸度是入口凸度、宽度、轧制力、弯辊力等板凸度影响参数的函数，精轧机组的板凸度是一个随机架变化的连续过程.采用影响函数法轧辊弹性变形模型确定板凸度的影响系数，如出口凸度的弯辊力影响系数、单位宽度轧制力影响系数等，将各参数依据其物理性质进行组合，形成如式 (1) 所示的经验公式：

(1)

式中：P_k为带钢的某机架出口凸度，μm；C为凸度影响系数；X为凸度影响参数的数值；φ为各影响参数按经验组合的函数；k为当前计算值是上限或下限的标识符.

当各机架在依据Shohet判别式所得出的翘曲极限范围内的比例凸度确认后，根据式 (1) 逆计算可得到各机架所需的凸度调节机构基本值.

各机架板形和板凸度控制能力的计算、比例凸度曲线的确定及板凸度调节机构基本值的计算是较为复杂的过程，其基本结构如图 2所示.受到仪表的限制，板形的控制功能具有一定的局限性，比如凸度在精轧机组与卷取机建张之前可能因为带钢头部的上下左右摆动而失真，而在建张之后，平直度测量值会因张力的存在而不够准确.因此，板形设定模型的精度对带钢板形质量具有重要的影响，通常会采用自学习的方法来提高板形的设定精度.板形设定模型是带钢凸度控制模型的核心组成部分.

图 2(Fig. 2)

图 2 带钢凸度控制模型的结构及程序流程 Fig.2 Construction and program flow chart of center crown control model

反馈控制模型按照多功能仪实测的凸度和平直度，通过调整各机架的弯辊力来保持带钢凸度和平直度的控制精度.

前馈控制功能根据轧制力和工作辊热凸度的变化调整各机架的弯辊力，当轧制力增大时增加弯辊力，当轧辊热凸度增大时减小弯辊力.

除此之外，为了准确计算辊缝的断面形状，采用轧辊热凸度模型和轧辊磨损模型计算轧辊因热膨胀和磨损而产生的凸度变化.

国内某新建热轧带钢生产线的主要产品为宽度720~860 mm、厚度2.5~15 mm的普碳钢带卷.其粗轧机为单机架二辊可逆式，精轧机组前配置有无芯热卷箱、飞剪和精除鳞箱，精轧机组由7机架4辊轧机组成，工作辊辊身长度为1 200 mm，带有正弯辊 (0~75 t/侧) 和窜辊机构 (±100 mm).当工作辊采用正弦曲线时，采用周期窜辊的方法分散轧辊磨损.机架间设置有冷却集管，精轧机组后配置有高温计、测厚仪、测宽仪和用于测量板凸度与平直度的Thermo-Fisher多功能仪.精轧后的输出辊道上下方设置有层流冷却系统，带卷由地下卷取机卷取.

考虑到该轧线为中宽带轧线，带钢的宽度较窄，各机架的轧制力较小，轧辊因轧制负荷而产生的挠曲和弹性压扁较小，精轧机组前配置有热卷箱，有利于轧件的温度保持，且轧制节奏较快.为了保证在满负荷轧制时仍可以获得目标凸度，该精轧机组应采用负凸度工作辊辊形曲线，F1~F4机架的工作辊半径凸度为-150 μm；F5，F6和F7机架的工作辊半径凸度分别为-110，-90和-80 μm，其辊形曲线为广泛应用的常规正弦辊形曲线，各机架的正弦曲线半角均为135°.

典型产品的钢种为Q235B，中间坯厚度为28 mm，精轧出口目标厚度为2.95 mm，目标宽度为760 mm，精轧出口速度为7.2 m/s.各机架出口厚度和各机架的轧制力设定值如图 3所示.

图 3(Fig. 3)

图 3 轧制力设定值和出口厚度设定值 Fig.3 Reference values of rolling force and delivery thickness

图 4为比例凸度极限值与比例凸度曲线.当比例凸度超出上极限时带钢处于边浪状态；当比例凸度位于下极限之下时，带钢为中浪状态.图 4的比例凸度曲线处于上下限区域的中间位置，F5~F7机架基本保持了比例凸度恒定，F1~F4机架比例凸度缓慢上升，较好地体现了在精轧机组上游机架改变比例凸度而下游机架通过比例恒定来保持带钢平直的板形设定思想.

图 4(Fig. 4)

图 4 比例凸度上下限和比例凸度曲线 Fig.4 Upper and lower limits and curve of relative crown

各机架的弯辊力设定值如图 5所示.该卷带钢的目标凸度为40 μm，精轧出口凸度设定值为40.5 μm，平直度设定值为0 I.

图 5(Fig. 5)

图 5 弯辊力设定值 Fig.5 Reference values of bending force

Thermo Fisher多功能仪实测的带钢凸度和平直度的PDA曲线如图 6所示.直线1和直线4之间的区域为带钢凸度控制的有效区域.可知，出口目标凸度保持在 (40±20)μm的比例占带钢全长的100%，由于该曲线取自换辊初期，因此凸度处于目标值之上.平直度为 (0±10) I的比例占带钢全长的98%以上，经技术人员分析，平直度曲线中个别“尖刺”为受水汽干扰所致.PDA曲线表明本文所开发的模型具有较高的带钢凸度控制精度.

图 6(Fig. 6)

图 6 板凸度和平直度实测曲线 Fig.6 Measured values of crown and flatness 1—穿带结束后弯辊力设定值由基础自动化开始执行的时间； 2—带钢凸度C40的实测值； 3—平直度的实测值； 4—末架抛钢阶段开始时间.

考虑影响热轧带钢凸度的主要因素，结合中宽带钢生产的实际情况，构建了包括设定模型、反馈模型、热凸度与磨损计算模型在内的板凸度控制模型.多功能仪实测数据表明，带钢出口凸度保持在 (40±20)μm的比例占带钢全长的100%，平直度为 (0±10) I的比例占带钢全长的98%以上.所开发的凸度控制模型具有较高的控制精度.