灰色预测模型GM(1, 1) 的背景值构造方法有多种, 例如:文献[1]提出用线性函数插值和高斯公式来构造背景值, 文献[2]提出用Newton-Cores公式来构造背景值, 文献[3]提出用Romper算法和二次插值法来构造背景值.多数背景值构造方法用的是插值法, 因此本文提出3种不同背景值构造方法, 分别为:把背景值的固定权改为变权的构造方法、将数据序列抽象为指数函数的构造方法、将数据序列抽象为非齐次指数函数的构造方法.GM(1, 1) 模型是利用最小二乘法获得的拟合曲线, 不一定通过第一个数据点, 因此以X(n)为初始值.GM(1, 1) 模型用于预测时, 越往未来发展模型的预测精度就越低；为避免由此产生大的误差，用新陈代谢方法使模型参数不断更新优化.通过工程实例检验这3种不同背景值构造方法建立的GM(1, 1) 模型的预测精度.

1 建立模型

在建模之前要检验所用的数据序列是否可以用来建模, 用数据序列级比来检验.

定义1^[4]  设

(1)

为X序列的级比.

GM(1, 1) 模型要求级比σ(k)满足覆盖的序列, 级比检验不合格的序列, 需要进行数据变换的处理, 使其满足要求.

1.1 GM(1, 1) 模型

定义2^[5]  设X⁽⁰⁾={x⁽⁰⁾(1), x⁽⁰⁾(2), …, x⁽⁰⁾(n)}为原始非负数据序列, X⁽⁰⁾的一阶累加生成序列为X⁽¹⁾={x⁽¹⁾(1), x⁽¹⁾(2), …, x⁽¹⁾(n)}, X⁽¹⁾的紧邻均值生成序列为Z⁽¹⁾={z⁽¹⁾(1), z⁽¹⁾(2), …, z⁽¹⁾(n)}, 则称

(2)

为灰色GM(1, 1) 模型, 其中, ，k=1, 2, …, n；, k=2, 3, …, n.

根据式(2) 利用最小二乘法, 估计出参数a, b的值, 得

(3)

其中:

定义3^[5]  将式

(4)

称作灰色GM(1, 1) 模型白化方程.

定理1^[5]  设B, Y, â如上所述, â=[a b]^T=(B^TB)^-1B^TY, 灰色GM(1, 1) 模型白化方程的解也称为时间响应函数

(5)

GM(1, 1) 模型是利用最小二乘法获得的拟合曲线, 不一定通过第一个数据点, 因此以x⁽¹⁾(n)为初始值建立GM(1, 1) 模型为

(6)

建立GM(1, 1) 模型的数据序列应该是等时间段的, 而原始的数据序列很多时候是不等距的, 所以要用spline三次样条插值、Hermite插值等方法对原始数据进行等距处理.

1.2 背景值的构造方法

重新构造式(2) 中的背景值z⁽¹⁾(k).

① 构造方法一:

文献[6]中把背景值的固定权改为变权来构造背景值得到

(7)

式中n为待定常数.

用经验公式求出n.

对低增长指数序列:

(8)

式中:N为序列长度；R_i=x⁽¹⁾(i)/x⁽¹⁾(i-1), i=2, 3, …, N.

对高增长指数序列:

(9)

式中:N为序列长度; R_i=x⁽¹⁾(i)/x⁽¹⁾(i-1), i=2, 3, …, N.

② 构造方法二:

文献[7]中将数据序列抽象为指数函数来构造背景值得到

(10)

③ 构造方法三:

文献[8]中将数据序列抽象为非齐次指数函数来构造背景值得到

(11)

分别将式(7)，(10)，(11) 代入式(6) 建立GM(1, 1)¹模型、GM(1, 1)²模型、GM(1, 1)³模型.

1.3 新陈代谢方法^[9]

以GM(1, 1)¹模型为例, 新陈代谢建模方法由初始数据序列建立GM(1, 1)¹模型预测一个值, 然后将这个预测值补充到现有数据序列之后, 同时去除第一个已有的数据, 使数据序列保持等维, 建立GM(1, 1)¹模型预测下一个值, 然后把新预测值补充到数据序列后, 同时去除上一数据序列中的第一个数据, 直到完成预测目标为止.

1.4 预测值的精度检验^[10]

设e(i)为原始数据列x_i⁽¹⁾和预测数据列的残差, 即, 则可用下列指标对预测值进行精度检验.

1) 相对误差α:

(12)

2) 均方差比值C:

(13)

式中:S₁为原始数据均方差；S₂为残差均方差.

3) 绝对关联度ε:

(14)

(15)

4) 小误差概率P:

(16)

式中为残e差的均值.

2 应用实例

招商局深圳前湾吹填造陆填堤围堰工程场地位于深圳市南山区前海湾, 规划为联动物流园区和码头后方堆场, 场地原始地貌属滨海潮间带, 沉积有深厚的淤泥层, 淤泥面高程为-1.50 m~+0.50 m, 淤泥呈流塑状态, 需进行填海造地及地基处理后方可满足使用功能的要求.按照设计要求, 首先结合规划的路网和码头功能分区设置封闭围堰, 将整个场区划分成7个纳泥塘(编号为A, B1, B2, C1, C2, C3, C4), 围堰由抛石爆破挤淤形成, 围堰顶宽为10.00~30.00 m, 设计顶标高为+6.00 m左右, 块石围堰下的残留淤泥厚度小于1.00 m, 围堰施工完成后进行吹填造陆.为及时了解围堰在吹填施工期间的工作状况, 保证围堰的稳定性和施工顺利进行, 达到信息化施工、满足设计和规范要求、发现和及时处理问题的目的, 对该工程进行监测.共有64个沉降监测点(T1~T64), 如图 1所示.选取监测点T17, T52的原始数据序列建立GM(1, 1)¹，GM(1, 1)²和GM(1, 1)³模型, 对围堰进行沉降预测.每1个月为一监测周期, 共选11个周期的累计沉降数据, 前8个数据用来建立模型, 后3个数据用来和预测值对比, 原始数据见表 2.

因实测数据是累计沉降量, 所以以累计沉降数据为x⁽¹⁾(k), 对x⁽¹⁾(k)进行累减得到x⁽⁰⁾(k), 由式(1) 得监测点T17, T52级比见表 2, 可知数据为低增长指数序列, 取前8个数据序列建模则n=8, 级比覆盖σ(k)∈[0.800 7, 1.248 8], 可知监测点T17, T52的级比都在级比覆盖范围之内，可以用来建模.

选取表 2中监测点T17前8个实测值建模:

① GM(1, 1)¹模型为

(17)

② GM(1, 1)²模型为

(18)

③ GM(1, 1)³模型为

(19)

求出3个模型的拟合值见表 3, 然后对监测点T17后3个沉降数据序列应用新陈代谢方法逐次求出预测值, 见表 3.

选取表 2中监测点T52前8个实测值建模:

① GM(1, 1)¹模型为

(20)

② GM(1, 1)²模型为

(21)

③ GM(1, 1)³模型为

(22)

求出3个模型的拟合值见表 4, 然后对监测点T52后3个沉降数据序列应用新陈代谢方法逐次求出预测值见表 4.

用式(12)~(16) 来检验3种模型的拟合程度和预测效果, 检验结果见表 5.

由表 3, 表 4的数据可知GM(1, 1)³模型的拟合值和预测值更靠近实测值.由表 5的数据可知监测点T10, T17, T52的平均相对误差、绝对关联度、均方差比值均为GM(1, 1)³模型＜GM(1, 1)¹模型＜GM(1, 1)²模型；小误差概率均为1.000 0.由表 1可知3个模型的精度均为一级.由此可得GM(1, 1)³模型的预测精度和有效性最好, GM(1, 1)¹模型次之, GM(1, 1)²模型最差, 但3个模型都适用于此工程.对3种不同背景值构造方法的比较可知, 将数据序列抽象为非齐次指数函数构造背景值的方法较好, 所建立的模型在工程中预测效果更好.

3 结论

1) 用固定权改为变权构造方法、将数据序列抽象为指数函数构造方法、将数据序列抽象为非齐次指数函数构造方法建立了GM(1, 1)¹, GM(1, 1)²和GM(1, 1)³模型.

2) 采用新陈代谢方法建立模型, 参数不断更新优化, 模型的稳定性和预测精度有很大提高.

3) 比较GM(1, 1)¹, GM(1, 1)², GM(1, 1)³模型的平均相对误差、绝对关联度、均方差比值、小误差概率, 可知GM(1, 1)³模型具有较好的预测精度和有效性.

4) 由拟合结果和预测结果可知这三种模型都能很好地应用在此工程中, 达到发现问题和及时处理问题的目的.