2. 哈尔滨工业大学 机电工程学院, 黑龙江 哈尔滨 150001;
3. 东北大学 机械工程与自动化学院, 辽宁 沈阳 110819
2. School of Mechatronics Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;
3. School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China
机械结构可靠性分析的主要目的是在考虑结构各输入参数随机性情况下计算其失效概率.近年来国内外学者将一阶矩、二阶矩、Monte Carlo(MC)[1]、代理模型等方法应用于机械结构可靠性分析.一阶矩及二阶矩方法难以适应工程结构非线性隐式的特点, 精度有限.MC方法鲁棒性最好, 然而耗时过长.代理模型方法是目前应用最广泛的机械结构可靠性分析方法.
众多学者通过调整代理模型函数形式[2-6]及选取样本点策略[7-10]提高代理模型精度及效率.Blatman[2], Roussouly[3]等将稀疏多项式应用于结构可靠性分析, 通过不同方法筛选“重要项”.此外, 为提高模型的非线性程度, Kriging[4-5]、神经网络[6]、SVM[7]也被广泛采用.Kriging模型是一种高效的差值模型.因此, 本文采用Kriging作为基本代理模型.
样本点的选取策略对代理模型精度和效率有很大影响.为提高样本点的质量, 很多自适应抽样方法被提出[3, 5, 7-10].现有抽样方法中鲜有考虑在迭代抽样过程中可能出现由于个别样本点间距离过近甚至矩阵奇异问题, 尤其是当算法接近收敛时, 设计点附近很小范围内往往集中过多样本点.本文提出一种新的自适应抽样方法,避免对“不重要区域”没必要抽样; 保证抽取的样本点保持与现有样本点的距离.
1 主要理论假设某机械结构的输入变量为X(X为N维随机向量), X的联合概率密度函数为f(x), 该结构的功能函数为G(x), 其安全域和失效域分别为Ss={x|G(x)>0, x∈RN}和Sf={x|G(x)≤0, x∈RN}, 则该结构失效概率为
(1) |
若已知样本集Ω={(xi, yi), i=1, 2, …, M}, 且功能函数G(x)可表示为
(2) |
其中:g(x)为多项式基函数;β为g(x)的系数向量, 本文中取g(x)的次数为1;z(x)为零均值同方差高斯过程, z(xi), z(xj)的协方差为
(3) |
其中:σz2是高斯过程的方差;R(xi, xj; θ)表示z(xi)和z(xj)的相关系数, θ为参数.应用最广泛的是高斯相关函数, 其形式为
(4) |
其中, xi, n表示向量xi的第n个元素.
在给定样本集Ω情况下, 式(2)~式(4) 中的未知参数β, σz2, θ可通过极大似然法估计得到,
(5) |
式中:
(6) |
式中,Y=[y1, y2, …, yM]T.
要实现
(7) |
求解式(7), 可得
(8) |
则该结构失效概率Pf的估计值为
(9) |
当X的维数较高时, 直接求式(9) 的积分值很困难.本文采用MC法通过随机抽样近似计算
(10) |
其中:NMC为随机抽样次数;xMC, i(i=1, 2, …, NMC)是来自f(x)的独立同分布随机序列.由中心极限定理知, 当NMC足够大时,
其中:Ф(·)为标准正态分布函数; λ0为正数.
若要保证在95%的置信水平下
(11) |
通常情况下工程机械结构的失效概率数量级很小, (1-
(12) |
NMC
本文提出在
本文提出的选取样本点方法的主要步骤为
步骤1 t=0, 应用拉丁超立方抽样方法[12]随机产生初始样本点并计算各点结构功能函数值, 计算
步骤2 t=t+1, 随机抽取K个
(13) |
步骤3 对
(14) |
其中, i=1, 2, …, k.
步骤4 调整集合St-1中各点位置.如式(15) 定义D0, 本文中认为两个样本点间距离小于D0时是不可接受的, 需要调整个别点位置.
(15) |
式中,e0为给定常数.
步骤5 计算St-1中各样本点的结构功能函数值.令
步骤6 根据Ωt计算
当迭代过程收敛时, 可以认为
由中心极限定理, 若能保证抽样次数满足
则
根据式(11) 和式(12),
收敛条件为
(16) |
选用文献[10]中某二维输入变量结构作为分析对象, 该算例的主要目的是进一步用于说明本文所提出的方法.该结构的功能函数为
其中, x1, x2相互独立且均服从标准正态分布.
(17) |
其中,
通过MATLAB软件, 采用数值积分的方法计算式(17), 得到失效概率为
采用拉丁超立方抽样方法在[-5, 5]×[-5, 5]内随机产生6个初始样本点(M0=6), 计算其功能函数值, 得到Ω0, 建立初始Kriging代理模型
本节选用文献[2-3]中的桁架结构作为分析对象, 如图 3所示.该结构有10个输入随机变量, 分别为A1, A2, E1, E2, P1, …, P6.其中A1, A2分别为水平杆及倾斜杆的横截面积;E1, E2为水平杆及倾斜杆的杨氏模量;P1, …, P6为随机载荷.涉及到的10个随机变量的分布类型及参数如表 1所示.
该结构在P1, …, P6随机载荷作用下点E在竖直方向位移最大, 因此以E点位移(s(x))作为结构响应, 为与文献[2]保持一致, 位移阀值设为0.14 m, 因此该结构功能函数为
此桁架结构的失效概率约为3.45×10-5, 该结果来自500 000次重要抽样[2].
令K=3 000, ε=0.001, k=8, e=0.15, 首先将10个随机变量变换为标准正态随机变量, 再应用第2节所提出方法计算该结构的失效概率.拉丁超立方抽样在[-5, 5]10立方体内进行(M0=15).图 4为应用本文所提方法运行5次所得的迭代次数与失效概率预测值折线图, 由于失效概率预测值数量级变化比较大, 纵坐标采用对数形式.表 2为本文方法与其他方法精度对比.
实例1主要用来具体说明本文所提出的结构可靠性分析方法.图 1表明, 本文所提出方法能够保证选取的样本点落在“重要区域”, 避免了对非重要区域的不必要抽样.同时, 各样本点间能够保持一定距离, 这也在很大程度上提高了算法的效率.实例2选用的桁架结构在其他文献[2-3]中已有提到, 通过对比可知, 本文所提出方法能够在较少调用结构功能函数情况下得到较高精度失效概率估计值.通过图 4可知, 本文方法收敛速度快且稳定.
4 结论1) 提出了一种自适应的选点方法, 通过实例表明该方法能够保证所选样本点落在对失效概率贡献较大的重要区域, 有效减少了对非重要区域的抽样次数, 提高各样本点的质量.
2) 提出的自适应方法能够保证各样本点间距离不会太小, 结合Kriging模型, 能够更充分利用各点统计信息, 提高实效概率计算精度.
3) 提出的机械结构可靠性分析方法能够在较少调用结构功能函数情况下实现对单设计点机械结构失效概率的较准确估计.
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