2018, Vol. 39
2. 东北大学 信息科学与工程学院, 辽宁 沈阳 110819
2. School of Information Science & Engineering, Northeastern University, Shenyang 110819, China
复杂产品的设计过程往往涉及多个学科知识, 为解决该问题而产生的多学科设计优化(multidisciplinary design optimization, MDO)方法, 受到了航空航天等领域众多学者的青睐.针对多学科可靠性设计优化(reliability based MDO, RBMDO)问题, 在关于单级MDO算法的可靠性优化方面, Du等[1-2]和Agarwal等[3]均做出了一定贡献.关于多级MDO算法的可靠性优化问题的相关研究较少, 在Padmanabhan等[4]所给出的RBMDO问题研究中, 采用并行子空间方法求解最可能点(most probable point, MPP). Meng等[5]采用一阶马鞍点近似方法求解协同优化(collaborative optimization, CO)可靠性优化问题, 该方法需在马鞍点对可靠性约束进行线性化处理, 不适合处理非线性化程度高和离散性问题.正如Park等[6]所描述, 对于MDO问题中的可靠性优化问题, 相比于其他MDO算法, CO算法具有明显的优越性.
将可靠性分析与优化过程相分离, 是简化计算过程和提高计算效率的有效方式.在Sues等[7]所给出的RBMDO框架中, 采用了将可靠性分析从MDO优化中分离出来的策略, 将最可能失效点的计算移出优化过程, 并根据每次优化结果更新最可能失效点. Ahn等[8]则提出将可靠性分析从多学科分析中解耦出来, 采用顺序循环的方式分别进行可靠性分析和多学科分析. Du等[1]对序列解耦执行策略做了进一步的完善, 提出了序列优化与可靠性评估(sequential optimization and reliability assessment, SORA)方法, SORA采用序列的方式, 分别执行可靠性分析和优化过程, 从而将可靠性分析从优化过程中分离开来, 避免了传统的两重循环方式.同时, Du等[2]将SORA方法应用于单学科可行方法和多学科可行方法两种单级MDO方法, 将可靠性分析与单级MDO算法的优化过程分割开来, 显著地降低了RBMDO的计算复杂性.由于SORA方法具有形式简洁和计算效率较高的特点, 得到了学者们的青睐.如Zhang等[9]分别针对离散连续混合设计变量以及随机和认知混合不确定性因素, 基于SORA方法, 在单级MDO算法中开展RBMDO问题的研究.
相关研究者在通过分离可靠性分析和优化过程来提高RBMDO计算效率方面, 已做出了一定的工作, 尤其以Du等[1-2]所提出的SORA方法具有代表性.为了提高CO可靠性优化方法的计算效率, 本文研究基于SORA方法的CO可靠性优化方法.
1 可靠性分析在可靠性优化过程中, 对于每个优化点, 在分析可靠性约束g(z)的可靠性时, 均需计算性能函数g(z)的概率密度fz(z)的积分:
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(1) |
式(1)的积分计算过程复杂, 计算效率较低.为此, Tu等[10]提出了性能度量法(performance measure approach, PMA), 在PMA方法中, 式(1)所表示的可靠性约束计算问题可转化为如下各式的表述形式:
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(2) |
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(3) |
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(4) |
其中:R为设计所需达到的可靠性要求; β表示可靠性指标; gR的物理意义为可靠性约束g(z)的概率分布中1-Φ(-β)的上分位点, gR的值可通过逆MPP方法求出, 具体过程如下.
首先, 需将随机量转换到标准正态空间.对于服从正态分布的随机变量zi ~ N(μi, σi), 转换为标准正态空间变量的公式为
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(5) |
将所有随机变量转换到标准正态空间后, 通过逆可靠性方法可求得gR及MPP点. MPP点是从约束边界到原点的最短距离的点, 而可靠性指标β则称为最短距离, 寻找MPP点是一个最小化问题.
最终, 可靠性分析优化模型(1)将变为如下形式:
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(6) |
鉴于SORA方法在采用序列方式执行确定性优化与可靠性分析方面的优点, 提出基于SORA的协同优化(SORA-CO)方法.
2.1 SORA-CO模型表示形式系统级优化:
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(7) |
其中:z表示设计向量; zj为第j个设计变量; si表示第i个子学科的设计变量个数; xij*为第i个子学科所产生的第j个设计变量结果值.
第i个子学科优化:
确定性优化为
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(8) |
其中:xi表示设计向量; xij为第j个设计变量; zj*表示由系统级传递来的第j个设计变量目标值; gim为第i个子学科第m个需要表示的可靠性约束; simk为当前第k次循环的移动向量.
第m个可靠性约束分析:
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(9) |
式中, uim表示随机量通过式(5)转换到标准正态空间的设计向量, 优化结束后, 根据式(10)计算相应的MPP点:
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(10) |
其中:uim*表示式(9)的优化结果; μxi表示xi的均值; σ表示方差.
在第k次循环, 根据所得MPP点的结果计算第k + 1次循环转移量simk+1:
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(11) |
其中, μkxi和xi(MPP, k)分别表示第k次循环时的设计向量xi的均值及其MPP点.
2.2 实现步骤优化实现过程的流程图如图 1所示.
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图 1 优化过程流程图 Fig.1 Flowchart of optimization process |
步骤1 设置系统级优化的起始值.首先, 需要为SORA-CO的系统级优化设置各设计变量的初始值, 并将其值分配给相关子学科, 作为设计变量优化结果的目标值.
步骤2 子学科级确定性优化.第1次循环时, 各设计变量的移动量设为0, 从第2次循环开始, 若收敛性条件未满足, 子学科则根据第k-1次循环所计算出的MPP点, 通过移动量simk修改可靠性约束, 求解确定性优化问题.
步骤3 子学科级可靠性分析.对于各子学科的每个可靠性约束, 均需按照确定性优化结果, 进行可靠性分析.首先, 依据式(5), 将各不确定性变量转化到标准正态空间, 然后依此计算各子学科的所有可靠性分析.以子学科i的第m个可靠性分析为例, 根据确定性优化结果计算gimr的值, 即目标函数式(9)的最优值.同时, 需利用式(9)的优化结果u*, 通过式(10)计算各相应随机变量的MPP点, 进而利用式(11), 为k + 1次循环计算出随机向量的移动量simk-1.
步骤4 检查收敛性.收敛性检查包括三个方面:其一, 各子学科间的一致性是否满足; 其二, 目标函数是否收敛; 其三, 各可靠性约束是否满足gR≤0, 即所有可靠性约束是否均满足.如果三方面的收敛条件均满足, 则停止, 输出结果; 否则, k = k + 1, 将各子学科的优化结果返回给系统级.
步骤5 系统级优化.根据各子学科返回的优化结果, 构造系统级一致性约束, 对式(7)进行求解, 同时把优化结果返回给各相关子学科, 进入步骤2.
3 减速器设计优化问题减速器问题是典型的MDO问题测试算例, 来自于NASA (national aeronautics and space administration)的MDO评估算法性能的10个标准算例[5, 11], 优化目标为体积最小:
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(12) |
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该优化问题共有7个设计变量, 11个约束, 各设计变量和约束的物理意义可参见文献[5, 11].假设z4 ~ z7为随机变量[5], 且服从正态分布N(μ, σ), 取σ = 0.1, Φ-1 (R) = β.在系统级, 用z表示该问题的设计向量; 在学科级, 用x1, x2, x3分别表示3个子学科的设计向量.可靠性优化表示形式如下[5].
系统级优化:
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(13) |
子学科1:
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(14) |
子学科2:
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(15) |
子学科3:
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(16) |
当可靠性要求R取不同值时, SORA-CO的可靠性优化结果如表 1所示.从表 1中的优化结果可以看出, 随着可靠性要求R值的增大, 目标函数f的值也逐渐增大, 由此可推断出, 可靠性要求R的值越大, 所产生的目标函数f值越大, 故是以牺牲目标函数值为代价, 来换取较高的可靠性.当可靠性要求R = 0.5, 即β = 0时, 可靠性优化结果与确定性优化结果相同, 这一点可从式(9) ~式(11)推断出.即把β = 0代入式(9)中的约束, 可得优化结果uim*的所有分量均为0, 将其代入式(10)和式(11), 可得到simk+1的所有分量为0, 再代入式(8)的约束中, 即可得到确定性CO优化问题.
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表 1 可靠性优化结果 Table 1 Optimization results of reliability |
因此, 当β = 0时, 可靠性优化问题即变为确定性优化问题, 而本文β = 0所得出的SORA -CO优化结果, 与文献[11]所给出的确定性优化结果相同.这一点, 可进一步验证了所提出的SORA-CO方法在维持CO优化特性方面的有效性. 表 2为可靠性优化结果指标.
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表 2 可靠性优化结果指标 Table 2 Reliability indexes of optimization results |
在表 2中, GR1, GR2, GR3, GR4, GR5和GR6分别表示g4, g6, g11, g3, g5和g10的约束可靠性指标的值.当其值等于0时, 说明恰好满足所设定的可靠性要求R值; 当其值小于0时, 说明可靠性约束的优化结果好于所设定的可靠性要求R值.从表 2中的结果可知, 部分可靠性指标的值等于0, 其余部分小于0, 说明所有可靠性约束均恰好满足或好于所设定的可靠性要求.由此可见, SORA-CO方法的优化结果可以满足可靠性要求.
该问题所涉及的3个子学科具有不同的设计变量, 所采用的学科间不一致性信息值的计算式为
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(17) |
式中, x1*, x2*, x3*分别为x1, x2, x3的最优值.
从表 2中结果数据可知, 在这几种可靠性要求R值下, 所产生的学科间不一致信息值非常小, 均近似为0, 即满足了学科间一致性要求, 说明了SORA-CO方法在维持MDO问题学科间一致性方面具有有效性.
图 2和图 3给出了系统级优化目标和学科间不一致信息随迭代过程的变化曲线. 图 2中4条曲线分别给出了R的取值为0.982 1, 0.919 2, 0.758 0, 0.5时, 系统级目标函数值随迭代过程的收敛情况, 均得到了满意值. 图 3给出了不同可靠性指标时, 各子学科间一致性的收敛情况, 式(17)所给出的各学科间不一致信息的定义值逐渐趋于0, 达到了各学科间的一致性需求.
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图 2 目标函数变化曲线 Fig.2 Curves for objective function |
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图 3 学科间不一致信息曲线 Fig.3 Curves for interdisciplinary inconsistency |
以RBMDO问题为研究对象, 在协同优化框架下, 提出了基于SORA的协同优化可靠性优化方法.在算例验证部分, 针对不同的可靠性要求的R值进行了计算, 优化结果的可靠性指标以及学科间一致性均得到满足.同时, 优化结果表明, 满足较大的可靠性指标R, 是以牺牲一定的目标函数值为代价的.当R = 0.5时, 优化结果与确定性优化结果相同, 从而进一步验证了该方法在维持CO优化特性方面的有效性.所给出的SORA -CO方法, 由于以顺序执行的方式进行确定性协同优化计算和可靠性分析计算, 即变为两层循环问题, 而传统的可靠性CO方法需采用三层循环计算方式, 因而SORA-CO方法的计算效率会明显提高.减速器工程算例作为评估MDO算法的标准算例, 常用来测试各类CO算法的性能, 具有典型的代表性, 本文方法可适用于计算量更大的其他RBMDO问题.
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