2018, Vol. 39
2. 南昌大学 经济管理学院，江西 南昌 330031
2. School of Economics & Management, Nanchang University, Nanchang 330031, China
综合评价是决策分析领域的重要组成之一[1]，以往的研究多是针对某一个时刻的静态综合评价问题，评价结果反映的是被评价对象在某一时刻的状态和发展水平.在引入时间变量之后，原有的二维静态评价问题(由指标和方案组成)则转变成由时间、指标和方案(被评价对象)组成的三维动态综合评价问题.科学、客观的动态综合评价方法应该能够体现出被评价对象的发展变化情况，同时也能够客观地凸显被评价对象之间的差异.目前，动态综合评价研究已取得了一些成果，主要研究集中在动态评价方法的创新方面[2-5]，而由于动态综合评价具有较强的现实意义，在方法创新的同时，也有研究将激励因素考虑到动态综合评价中[6-8].文献[6]首次提出了基于双激励控制线的多阶段信息集结方法.文献[7]在信息集结过程中增加了被评价对象变化速率和加速度因素，对方法作了更深入的拓展.文献[8]提出的分层激励的动态综合评价方法中，激励控制线由分层确定.一般的分层方法主要由决策者的主观意图所决定，这种方法实现的前提条件是决策者对被评价对象的发展变化趋势有较为明确和清晰的认识.然而，对于不同的被评价群体，他们的发展变化趋势也具有不确定性，如果用同样的分层方法确定每一层级的上下限就有失对不同群体的客观判断.基于此，本文提出3种改进的分层方法，从客观角度出发对被评价群体进行分层，通过激励控制线的方式对被评价对象进行奖励和惩罚，更深入地挖掘被评价对象的信息差异，以使得到的评价结果更加合理.
1 问题描述动态综合评价中，设有N个时期t1, t2, …, tN，将n个被评价对象(或系统)s1, s2, …, sN在m个评价指标x1, x2, …, xm上的观测值记为xij(tk), i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, mj; k=1, 2, …, N.
不失一般性，假设指标均为效益型，所有指标值为非负数且隶属于某一固定区间范围内.在任意时刻tk(k=1, 2, …, N)的综合评价值为y1(tk), y2(tk), …, yn(tk)，假设所有被评价对象的评价值都在奖惩范围内.
根据决策者的决策意图和奖惩的实施力度，确定被评价对象指标的奖惩范围为[a, b](a≤b)，其中a称为激励下限，b称为激励上限.将奖惩范围划分为L个区间，这些区间的覆盖范围为[d0, d1], (d1, d2], …, (dL-1, dL]，其中d0=a, dL=b, 任意区间的区间长度为ch=dh-dh-1, h=1, 2, …, L，称区间(dh-1, dh], h=1, 2, …, L为第h层，dh-1称为第h层级的区间下限，dh为区间上限.特别地，为了计算方便，定义区间(-∞, a)为第0层，区间(b, +∞)为第L+1层，但是这两个层级不体现激励作用.
2 分层激励控制线的改进方法与模型 2.1 改进方法1——按比例分层在综合评价问题中，经常会遇到这样的情况，按照人数划分奖励等级并给予奖励，例如，评定结果按照5%，10%，20%分别确定一等奖、二等奖、三等奖获奖名额，剩余的为优秀奖.依据这样的原则，可以对被评价对象进行分层.
2.1.1 分层规则规则1(时点比例不变性)每一个时间点的激励层级划分方法相同，即激励总层级相同，且同一个激励层级所包含的被评价对象占比相同.
规则2[8](偏好灵活性)决策者依据偏好确定奖惩层级，若要突出奖惩，则设定较多的奖惩层级；否则，设定较少的奖惩层级.
规则2中，在被评价对象的总数固定情况下，层级较多时，奖惩层级中所包含的被评价对象所占的比例小，被评价对象排序的变动较容易突破(或者滑落)到另外的层级从而获得奖惩；反之，被评价对象的变动则较难获得奖惩.
规则3[8]适度激励规则.要求正负激励系数的和为1，即
步骤1 决策者依据已有的知识、经验或评价目的确定层级总数L和各层级所包含被评价对象的百分比，从低层到高层被评价对象所占比例分别为γ1, γ2, …, γL(γh>0且
步骤2 依据被评价对象的总个数n和已确定的各层中所包含的被评价对象占总被评价对象数的比例γ1, γ2, …, γL，计算出各层所包含的被评价对象的个数.当出现不是整数的情况时，采取四舍五入的方法.
若遇到各层被评价对象个数和不是n的情况，需检查四舍五入之前的数据，根据该组数据重新确定各层包含的被评价对象个数.
步骤3 将每个时刻的综合评价值从小到大排序，为方便起见，记为y1(tk)≤y2(tk)≤…≤yn(tk).依据各层级所包含被评价对象的个数，将被评价对象分为L个不同的群体，从低到高，每个奖惩层所包含的对象个数分别记为e1, e2, …, eL，其中eh>0且
当出现激励区间边界有相同评价值存在的情形时，可按以下2种原则进行处理：①依据决策者的奖惩偏好，如果决策者偏好奖励，那么就把具有相同值的被评价对象划分到较低的奖惩层级，如果决策者偏好惩罚，那么就把相同值的被评价对象划分到较高的奖惩层级；②评价值的就近原则，比较评价值与相邻的两个数值的距离，距离哪个值近就把取值相同的被评价对象划分到那个值所在奖惩层级；如果距离都相同，那么就判断次相邻的两个值.
步骤4 确定各层的上下限.
由步骤3确定各层被评价对象的个数，不难得出从下到上各层所包含的评价值分别为A1={y1(tk), …, ye1(tk)}, A2={ye1+1(tk), …, ye1+e2(tk)}, …, AL={yn-eL+1(tk), …, yn(tk)}，因而可使奖惩层级的上下限取相邻层级最接近的两个数据的均值，得到tk(k=1, 2, …, N)时刻h层的上限为
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(1) |
记奖惩范围为[a, b]，所以有d0(tk)=a, dL(tk)=b.
被评价对象个数或者综合评价值的数据不同会使得同一奖惩层级在不同时间点的上下限不同，若将同一奖惩层级的上限相连作为激励控制线，那么激励控制线必然是一条折线.为了保持一致性，令此时的激励控制线为虚拟的直线，称这些虚拟的直线为虚拟激励控制线.
由上述分析可知，被评价对象的评价值相对于虚拟激励控制线的位置表达了被评价对象在群体中所处的相对位置.
2.1.3 信息集结分层后被评价对象的综合评价值yi在tk时刻可能处于不同的层级之中，或者在奖惩范围之外，当出现相邻时间点被评价对象的评价值突破(或滑落)奖惩层级时，需对突破层级的部分进行奖励，对滑落层级的部分进行惩罚.
图 1为多层激励控制线的信息集结示意图，横向直线代表虚拟的激励控制线(实际问题中应为折线)，然而不同时间点的相同层级所对应的边界不同.图中折线的各个点表示某一个被评价对象所处的层级，虚线表明了被评价对象在层级之间的发展状况.有箭头的部分表示该时间段被评价对象的评价值出现了穿越层级的情况，箭头向上表示被评价对象的发展趋势是正向的，应给予奖励；箭头向下表示被评价对象的发展趋势是负向的，应给以惩罚.没有箭头的时间段，表示评价值在同一层级间波动，不给予奖惩.
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图 1 多层激励控制线的信息集结示意图 Fig.1 Information aggregation diagram of multi-layer inspiriting control lines |
一般地，对于分割后的任一时间段[tk, tk+1], k=1, 2, …, N-1，其动态综合评价值仍可表示为[6]
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(2) |
引入按比例分层的激励控制线之后，在时间段[tk, tk+1]内被评价对象的评价值从h层向上穿越到h+p层，或者向下滑落到h-p层(p为正整数)，令yi，k+1+为带激励特征的评价值，则对tk+1时刻的评价值的奖惩激励幅度如下[8]：
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(3) |
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(4) |
其中：0≤h, p≤L+1且0≤h+p, h-p≤L+1；μh+, μh-(μh+, μh->0)分别为h层的正负激励系数.
依据按比例分层规则2，通常决策者偏好奖惩被评价个数较少的层级(即突出少数优秀者)，激励系数可根据各层所包含的被评价对象个数的不同而变化，此时激励系数表示为
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(5) |
其中，σ为待定参数.特别地，μ0±=μL+1±=0，这表示激励范围之外的第0层和第L+1层没有奖励或者惩罚.显然，同一时刻只存在奖励或只存在惩罚，即yi, k+1+·yi, k+1-=0.
tk+1时刻带有激励特征的评价值为
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(6) |
激励后的时间段[tk, tk+1], k=1, 2, …, N-1的动态综合评价值为[8]
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(7) |
依据适度激励规则(即规则3)，可求出待定参数σ的值.
2.2 改进方法2——一维聚类分层预处理后的评价信息数据中包含了一定的客观信息，如果按照一维聚类的方法对任意时刻tk(k=1, 2, …, N)的所有被评价对象进行聚类，被评价对象自然地汇聚成不同小群体.按照分层的思想，对于评价值较为接近的一个小群体认为是一个层级，层级的边界取相邻两层最接近数据的中点.
按有序增量分割法[9]对tk(k=1, 2, …, N)处的所有被评价对象的综合评价值yi(tk)(i=1, 2, …, n)进行一维L组聚类，即得到L个层级，计算得到每个层级所包含的被评价对象个数分别为e1, e2, …, eL，其中eh>0且
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(8) |
与改进方法1类似，评价指标与处理后的取值范围为[a, b]，激励范围也为[a, b]，所以有d0(tk)=a, dL(tk)=b.
在信息集结部分，按照聚类分层后的各个时间点评价值的调整与改进方法1的调整基本相同，最终的集结模型也相同.不同之处在于，此种改进方法同一层级在不同时刻的被评价对象个数和区间长度均不相同，然而激励的原则仍是偏好于激励那些通过较大的努力才能突破层级的被评价对象，因此应该对区间密度较小的层予以较大奖励或者惩罚.区间密度是单位区间内被评价对象个数的多少.
定义1 设tk时刻h层级中包含的被评价对象的个数为eh, k，区间长度为ch, k，则区间密度的表达式为
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(9) |
从而tk时刻h层级的激励系数为
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(10) |
其中，σ为待定参数.由适度激励原则可确定σ的大小，从而确定激励系数μh±(tk).
信息集结的方法与2.1节中的集结方法基本相同，只需要将式(3)和式(4)中不同时刻的激励系数μh±替换为μh±(tk+1).
2.3 改进方法3——诱导变量分层在划分被评价对象的层级时，可以由一个变量u来诱导，称u为诱导变量[10].基于诱导变量确定奖惩层级，从而影响层级的上下限，那么每个层级的上下限和层级所包含的被评价对象的个数均与这个诱导变量相关.
常见的具有现实意义的诱导变量有变化速率等，下面以该诱导变量为例说明诱导变量分层方法的操作步骤.
定义2 被评价对象si(i=1, 2, …, n)在tk(k=2, 3, …, N)时刻的变化速率为
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(11) |
定义3 设tk(k=2, 3, …, N)时刻所有被评价对象{s1, s2, …, sN}的最大变化速率vmax(tk)、最小变化速率vmin(tk)、平均变化速率(tk)分别为
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(12) |
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(13) |
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(14) |
对被评价对象按变化速率由小到大的顺序排序，变化速率较小的处于较低层级，变化速率较大的处于较高层级.此时的激励控制线为一条与变化速率有关的虚拟直线，被评价对象所处的层级表示的是被评价对象变化速率的大小，tk时刻奖惩范围为[vmin(tk), vmax(tk)].
按照诱导变量分层后，被评价对象在tk时刻所处的层级的高低仅与诱导变量相关.因此，在信息集结过程中，对被评价对象的激励也不再直接对原始评价值激励，而是对诱导变量进行激励，反推回去从而调整被评价对象的值.
以速率为诱导变量确定奖惩层级方法，层级确定的依据是速率，根据速率的不同将被评价对象各个时刻划分奖惩层级.在不同时间点上，被评价对象可能处于不同的层级，此时，如果后一时刻相对于前一时刻对层级有突破，则对速率进行奖励；如果在层级间有所下滑，则对速率进行惩罚；如果层级没有发生变化，不奖励也不惩罚.奖励或惩罚之后就会出现时间段[tk, tk+1]内的带有奖惩特征的速率v±(tk+1)，令时刻tk的评价值不变，再根据速率的计算方法就可以反推求得tk+1时刻调整之后带有激励的评价值.
此种分层奖励对于那些成长型的被评价对象有利，而对于那些保持实力不变的被评价对象缺少关注，因而此模型适用于对后进者的激励.
从广义上来看，改进的分层方法1和2可以视为诱导变量分层的特殊情况.改进方法1中的诱导变量可视为各层级所占比例，改进方法2中的诱导变量可视为被评价对象的密度，同理也可以使用其他的具有现实意义和科学研究意义的诱导因素作为诱导分层的变量.
3 算例分析与比较 3.1 算例采用文献[8]中的算例对10名员工近6年的整体表现进行总体评价.
下面采取前两种改进的分层方法确定激励控制线，并对信息进行集结，计算过程略.
3.2 结果对比分析将文献[8]中的分层方法与本文给出的改进方法1和改进方法2进行对比分析，计算得到各种方法的被评价对象的综合评价值和排序，见表 1.
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表 1 不同方法结果对比 Table 1 Comparison of evaluation values and ranks obtained by different methods |
分析表 1可以看出：①相对于没有激励的评价排序结果，文献[8]的分层激励方法、本文的按比例分层方法和按照一维聚类分层的方法所得到的排序结果均有较大变化，说明分层激励方法及其改进方法通过奖惩能够改变被评价对象之间的优劣关系；②文献[8]的分层方法及两种改进方法得到的排序结果略有不同，且综合评价值也不尽相同.造成不同的原因是当总层级数、层级的宽度不同时，会使被评价对象在同一时间段内层级之间的突破(或滑落)程度不同，从而获得的奖励(或惩罚)也不尽相同.
4 结语本文在文献[8]的基础上，提出了3种可应用于动态综合评价中的分层激励方式，在分层的方法上有一定的创新，将一维聚类思想和诱导变量的思想应用到了分层中，并取得了较好的效果.在实际应用中，结果会随着被评价对象的个数和评价值以及总层级系数的不同而不同，因此在后续的研究中可以从评价结果对被评价对象个数、总层级系数的敏感度等方面展开深入分析.
| [1] |
Hwang C L, Yoon K.
Multiple attribute decision making[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1981.
|
| [2] |
Sung T K, Chang N, Lee G.
Dynamics of modeling in data mining:interpretive approach to bankruptcy prediction[J]. Journal of Management Information Systems, 1999, 16(1): 63–85.
DOI:10.1080/07421222.1999.11518234 |
| [3] |
Kou G, Wu W S, Zhao Y Y, et al.
A dynamic assessment method for urban eco-environmental quality evaluation[J]. Journal of Multi-Criteria Decision Analysis, 2011, 18(1): 23–38.
|
| [4] |
李美娟, 陈国宏, 林志炳, 等.
基于理想解法的动态评价方法研究[J]. 中国管理科学, 2015, 23(10): 156–161.
( Li Mei-juan, Chen Guo-hong, Lin Zhi-bing, et al. Dynamic evaluation method based on TOPSIS[J]. Chinese Journal of Management Science, 2015, 23(10): 156–161. ) |
| [5] |
Liu W W.
A dynamic comprehensive evaluation model based on the niche theory[J]. Applied Mathematics & Information Sciences, 2013(7): 359–362.
|
| [6] |
易平涛, 郭亚军, 张丹宁.
基于双激励控制线的多阶段信息集结方法[J]. 预测, 2007, 26(3): 39–43.
( Yi Ping-tao, Guo Ya-jun, Zhang Dan-ning. A multi-phase information aggregation method based on double inspiring control lines[J]. Forecasting, 2007, 26(3): 39–43. ) |
| [7] |
刘微微, 石春生, 李靖.
基于双激励控制线的变化速度动态综合评价[J]. 中国管理科学, 2010, 18: 23–28.
( Liu Wei-wei, Shi Chun-sheng, Li Jing. Study on dynamic comprehensive evaluation for change speed based on double inspiriting control lines[J]. Chinese Journal of Management Science, 2010, 18: 23–28. ) |
| [8] |
易平涛, 冯雪丽, 郭亚军, 等.
基于分层激励控制线的多阶段信息集结方法[J]. 运筹与管理, 2013, 22(6): 140–146.
( Yi Ping-tao, Feng Xue-li, Guo Ya-jun, et al. A multi-phases information aggregation method based on stratified incentive control line[J]. Operations Research and Management Science, 2013, 22(6): 140–146. ) |
| [9] |
易平涛, 郭亚军, 张丹宁.
密度加权平均中间算子及其在多属性决策中的应用[J]. 控制与决策, 2007, 22(5): 515–519.
( Yi Ping-tao, Guo Ya-jun, Zhang Dan-ning. Density weighted averaging middle operator and application in multi-attribute decision making[J]. Control and Decision, 2007, 22(5): 515–519. ) |
| [10] |
Yager R R, Filev D P.
Induced ordered weight averaging operators[J]. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics B, 1999, 29(2): 141–150.
DOI:10.1109/3477.752789 |