近些年，关于广义系统的无源控制问题的研究很多，而对切换广义系统无源控制问题的研究还鲜有成果^[1-7].本文研究了带有不确定和多时滞的相对比较复杂的系统的无源控制问题.利用广义Lyapunov函数方法再结合线性矩阵不等式方法, 得到了使切换广义系统渐近稳定且严格无源的充分条件，同时设计出了鲁棒无源控制器.

1 问题描述与预备知识

(1)

式中:x(t)为状态向量; u(t)为控制输入向量; z(t)为控制输出向量; ω(t)∈L₂[0, +∞], ω(t)为外部扰动向量；φ(t)表示[－ξ, 0]上的连续初始状态；d表示正时滞常数；σ(·):[0, +∞]→{1, 2…，n}^def=N，表示分段常值切换信号，且σ(t)=i表示第i个子系统在t时刻被激活；E, A_i, A_1i, A_2i, B_iC_i, D_i, G_1i, G_2i分别表示适当维数的时常矩阵.其中ΔA_i, ΔA_1i, ΔA_2i, ΔG_1i表示参数不确定矩阵，且满足条件:

(2)

其中N_i, H_i, H_1i, H_2i, T_1i分别表示相应维数的时常矩阵；F_i(t)表示不确定矩阵, 且满足:

(3)

本文所研究的切换广义系统为正则且无脉冲的.

定义1  切换广义系统(1)是鲁棒无源的, 如果存在一个非负函数V(x)≥0, 使得无源不等式, ∀t≥0对任意扰动输入ω(t)都能成立, 且满足式(2)、式(3).假若无源不等式换为严格不等式, 那么称切换广义系统是严格无源的.

引理1^[8](Schur补引理)  对于给出的对称矩阵, S₁₁是r×r维的, 那么下面3个不等式一定是等价的:

引理2^[9]  给定适当维数的矩阵X, N, H, 若有X+NFH+H^TF^TN^T < 0, 对于所有满足F^TF≤I都成立, 则存在ε>0, 定有下式成立:

2 无源性分析

系统在状态反馈控制器u_i=K_ix(t)作用下的闭环系统为

(4)

令 , 且*表示关于对角线的对称矩阵部分.

定理1  如果G_2i+G_2i^T>0, 并且存在可逆矩阵P∈R^n×n, 同时也存在适当维数矩阵K_i以及对称正定矩阵Q₁, Q₂, 使不等式成立:

(5)

(6)

此时切换广义系统(1)在任意切换律下对任意扰动是渐近稳定且严格无源的.

证明  构造广义Lyapunov函数

(7)

很明显V₁(x)是正定的, 再对系统沿轨迹对t求导, 可得

其中:

首先讨论系统的渐近稳定性.

当不考虑外部扰动, 即当ω(t)=0时,

此时式(6)退化为

故可得.根据Lyapunov稳定性理论, 可知系统(1)是渐近稳定的.

下面考虑系统无源性.

(8)

(9)

其中 Q₁+Q₂.当Θ < 0成立时, 即有

(10)

取, 此时系统满足定义1, 所以切换广义系统(1)是渐近稳定且严格无源的.

定理2  如果G_2i+G_2i^T>0, 且存在可逆矩阵P∈R^n×n, 及适当维数矩阵K_i和对称正定矩阵Q₁, Q₂, 使得如下不等式成立:

(11)

(12)

其中:

此时切换广义系统(1)在任意切换律下对任意扰动是渐近稳定且严格无源的.

证明  下面证式(12)与式(6)等价.将式(2)、式(3)代入式(9)中，得到

(13)

其中

(14)

Π=(A_i+B_iK_i)^TP+P^T(A_i+B_iK_i)+Q₁+Q₂, 故有Θ=Φ+NF_iH+H^TF_i^TN^T成立.

其中 .由引理2得

(15)

再由引理1得到:

(16)

其中

故此时切换广义系统(1)在任意切换律下对任意扰动是渐近稳定且严格无源的.

3 无源控制器设计

定理3  如果G_2i+G_2i^T>0, 并且可以存在ε>0, 同时存在适当维数矩阵W_i, 和可逆矩阵X, 以及对称且正定矩阵Q₁₁, Q₁₂, 使不等式成立:

(17)

(18)

那么, 此时切换广义系统(1)在任意切换律下对任意扰动是渐近稳定且严格无源的.

证明  将式(12)进行变换, 先将其左乘diag{P^－T, P^－T, P^－T, I, I, I}, 再右乘

diag{P^－1, P^－1, P^－1, I, I, I}, 并令P^－1=X, K_i=W_iX^－1, Q₁₁=P^－TQ₁P^－1, Q₁₂=P^－TQ₂P^－1, 便得到了式(18).故得证.

4 数值算例

利用LMI工具箱求解式(17)和式(18)得到

最后计算出两个状态反馈控制器增益为

因此系统的状态反馈控制器为

5 结语

本文考虑了带有不确定项和多时滞项的较为复杂的切换广义系统无源控制问题.通过一系列推导证明得出了使切换广义系统渐近稳定同时严格无源的充分条件.提出了鲁棒无源状态反馈控制器设计方法, 并以实例说明了可行性.