2018, Vol. 39
直纹面是由直线的轨迹所形成的曲面.柱面、锥面、单页双曲面、双曲抛物面、空间曲线的切线曲面等都是直纹面[1-2].直纹面广泛应用于工程实践中, 例如飞机机翼、汽轮机叶轮等零件就常常采用直纹面作为型面; 齿轮滚刀、某些特种回转刀具的刀槽曲面的一部分也是直纹面; 对于某些法曲率绝对值稍大的曲面, 通过构造衍生曲面的方法, 也可以将其近似为直纹面进行处理[3].
本文主要研究三维欧氏空间中曲线的主法线曲面.主法线曲面是由一条曲线的主法线所产生的直纹面.主法线曲面是一类非可展直纹面, 因此, 对主法线曲面的研究可以丰富不可展曲面的相关内容.
1 预备知识对于任意三维欧氏空间中的不可展直纹面, 可以给出如下表示.
定义1[4] 设不可展曲面X(u, v)的方程为
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(1) |
其中|b(u)|=1, 参数u是b(u)的弧长参数, 导线a(u)是不可展曲面X(u, v)的腰曲线.则X(u, v)的这种参数表示称为不可展曲面X(u, v)的标准方程.
设x(u)=b(u), 
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(2) |
函数κg(u)是球曲率函数[5-7], {α(u), x(u), y(u)}是单位球面曲线b(u)的球面Frenet标架.由于a(u)是不可展曲面X(u, v)的腰曲线, 由a(u)·b(u)=0, 假设
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(3) |
λ(u), μ(u)是u的函数.
定义2[4] 函数κg(u), λ(u)和μ(u)称为非可展曲面X(u, v)的结构函数.
命题1[4] 给定一个非可展直纹面X(u, v)及其标准方程, 则除了空间位置差别外, 不可展曲面完全由它的结构函数κg(u), λ(u)和μ(u)确定.
2 曲线的主法线曲面 2.1 主法线曲面的结构函数定义3 一条曲线的主法线所产生的直纹面称为主法线曲面.
设曲线Γ:r(s), 以及沿r(s)的Frenet标架α(s), β(s), γ(s)满足Frenet公式:
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(4) |
其中s, κ(s)和τ(s)分别为r(s)的弧长参数、曲率和挠率.
曲线r(s)的主法线曲面Σ的方程为
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定义4 设主法线曲面的方程为
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其中b(u)=β(u), |b(u)|=1, 参数u是b(u)的弧长参数, 导线A(u)是主法线曲面X(u, v)的腰曲线; 则X(u, v)的这种参数表示称为主法线曲面X(u, v)的标准方程.
由于|b(u)|=1, b(u)是参数为u的球面曲线, 由式(2)有
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(5) |
其中
定理1 设X(u, v)是一个主法线曲面, (u, v)是主法线曲面上的任意点, 则在这一点的Frenet标架{α(s), β(s), γ(s)}和球面Frenet标架
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(6) |
其中
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证明 由式(4), 式(5)可得
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(7) |
设
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(8) |
则式(7)两边自己作内积运算得
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比较式(7), 式(8)有
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对
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又因为
定理2 设X(u, v)是一个主法线曲面, 函数κg(u), λ(u)和μ(u)是X(u, v)的结构函数, (u, v)是主法线曲面上的任意点, 则在这一点的Frenet标架{α(s), β(s), γ(s)}和球面Frenet标架
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证明 对式(8)两边同时关于u求导, 可得
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又
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(9) |
对式(9)两边关于u作积分运算, 定理2得证.
定理3 设X(u, v)是一个主法线曲面, 函数κg(u), λ(u)和μ(u)是X(u, v)的结构函数, 则函数κg(u), λ(u)和μ(u)满足下面关系:
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(10) |
证明 主法线曲面X(u, v)的腰曲线
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由式(3)可得
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(11) |
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(12) |
计算式(9), 式(11), 式(12), 定理3即得证.
由式(9), 式(11), 式(12)还可以得到主法线曲面X(u, v)的结构函数κg(u), λ(u)和μ(u)与其导线r(s)的曲率κ(s)和挠率τ(s)之间的关系:
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沿主法线曲面X(u, v)的腰曲线A(u)的Frenet标架
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(13) |
其中, 
定理4 设X(u, v)是一个主法线曲面, (u, v)是主法线曲面上的任意点, 则在这一点的Fernet标架
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曲率
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其中
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证明 定理4证明过程同定理1.
由定理1和定理4可得定理5.
定理5 设X(u, v)是一个主法线曲面, (u, v)是主法线曲面上的任意点, 则在这一点的Fernet标架
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定理6 在三维欧氏空间中, Mannheim曲线Γ的主法线曲面是其侣线Γ1的副法线曲面.
证明 设曲线r(s)是三维欧氏空间中的Mannheim曲线, 其曲率和挠率满足
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且c是非零常数.
三维欧氏空间中Mannheim曲线的主法线的腰曲线是Mannheim曲线的侣线[8-10].又因为
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即三维欧氏空间中Mannheim曲线的主法线曲面是其侣线的副法线曲面.
定理7 在三维欧氏空间中, 一般螺线的主法线曲面是正螺面.
证明 设曲线r(s)是三维欧氏空间中的一般螺线, 其曲率和挠率满足
把
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即在三维欧氏空间中, 一般螺线的主法线曲面是正螺面.
3 结论1) 主要讨论了三维欧氏空间中主法线曲面的结构函数.给出主法线曲面的结构函数满足的关系, 以及结构函数, 导线和腰曲线三者的联系.
2) 考虑Mannheim曲线和一般螺线的主法线曲面, 得到Mannheim曲线的主法线曲面是其侣线的副法线曲面, 一般螺线的主法线曲面是正螺面.
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