随着现代控制理论与方法应用于工程系统和向其他学科的不断深入, 一类更具广泛形式的系统得到了很多关注, 被称为“切换广义系统”.同时, 在实际控制问题中系统不可避免地带有不确定性和时滞现象, 因此要求所设计的控制器应具有鲁棒性和时滞项, 使得其在运行过程中能够允许这些不确定性的存在.因此对于不确定切换广义时滞系统的鲁棒指数容许及鲁棒镇定问题的研究具有重要的现实意义[1-4].文献[5]中所考虑的不确定性不仅包括状态矩阵和输入矩阵的不确定性, 还包括了导数矩阵的不确定性, 针对奇异时滞系统的鲁棒H∞镇定问题, 利用自由权矩阵的方法进行了研究.文献[6]对离散切换时滞系统构造分段Lyapunov泛函, 利用平均滞留时间和状态变量转化的方法, 得到一类特殊的切换信号, 从而保证了该系统的指数稳定性.文献[7]利用松弛矩阵和参数Lyapunov-Krasovskii泛函来解耦系统矩阵, 得到基于严格线性矩阵不等式表示的广义时滞系统的时滞相关的控制条件.
本文针对一类不确定切换广义时滞系统, 研究了鲁棒容许性和鲁棒指数镇定问题.基于平均滞留时间和自由权矩阵的方法, 利用广义Lyapunov稳定性理论, 首先讨论该系统的鲁棒指数容许性, 之后设计了一种有记忆的状态反馈控制器, 使闭环系统正则、无脉冲且指数稳定.
1 问题描述考虑带有参数不确定性的切换广义时滞系统
(1) |
其中:x(t)∈Rn为状态向量;f(t)∈Cn,为[-h, 0]上的连续可微向量值初始函数;E∈Rn×n是奇异矩阵; Ai, Ad i和Bi都是具有适当维数的已知实常数矩阵; d(t)是时变连续函数, 其中h和d是已知的正数, 满足
切换序列S={(i0, t0), …, (ik, tk)|ik∈N, k=0, 1, …}.切换信号σ(t), 其中t0=0, 表示当t∈[tk, tk+1), 第ik个子系统被激活.ΔAi(t), ΔAd i(t), ΔBi(t)为不确定项, 且具有如下一般结构:
(2) |
其中, Di, Ea i, Ead i和Eb i为适当维数的常数矩阵, FiT(t)Fi(t)≤I, I为单位矩阵, Fi(t)为具有范数有界的时变不确定性.对于每个子系统, 设计如下形式的状态反馈控制器:
(3) |
其中Ki, K1i为待定的常数实矩阵, 将式(2)和式(3)代入到式(1)得
(4) |
其中:
定义1 考虑系统Eẋ(t)=Ai, 如果det(sE-Ai)≢0, 则矩阵对(E, Ai)是正则的;如果deg(det(sE-Ai))=rankE, 则矩阵对(E, Ai)是无脉冲的;如果矩阵对(E,Ai)是正则且无脉冲的,则矩阵对(E, Ai)是可容许的.
定义2[8] 考虑系统(1)在给定的切换信号下, 如果存在正实数c和λ使得系统(1)的解满足下面不等式:
其中,c ≥1, ‖·‖代表欧式范数, 并且‖xt‖=sup-τ≤θ≤0{x(t+θ)}, 则该系统称为指数稳定的.
引理1[9] 给定具有适当维数的矩阵Q=QT, H, E, 则
对所有满足FT(t)F(t) < I的F(t)都成立的充要条件是存在一正数ε>0, 使得
定义3[10] 若存在Td>0, N0≥0, 使得N(t0, T)≤N0+(T -t0)/Td成立, 则称Td为平均滞留时间.其中N(t0, T)为在时间[t0, T]上系统的切换次数; N0为震颤边界, 通常设N0=0.
引理2[9] 若存在对称矩阵X, 使得
同时成立的充要条件是
定理1 考虑不含有控制器的自治系统(1), 给定标量α>0, 0 < d ≤1和h> 0, 如果存在非奇异矩阵Pi, Qi=
QiT≥0, Zi=ZiT≥0, 以及适当维数的N1i和N2i,
(5) |
其中:
(6) |
切换序列满足Td>Td*=lnμ/α, 其中μ≥1, 而且满足
(7) |
系统(1)是正则、无脉冲且指数稳定的, 而且指数衰减率
证明:首先证明自治系统(1)是正则、无脉冲的.因为rankE≤n, 所以一定存在两个非奇异矩阵S, U∈Rn×n满足:
根据Ψi < 0可知Ψi11 < 0, i∈N, 所以AiTPi+PiTAi+αETPi+N1iE+ETN1iT < 0, 将其左右两边分别乘以UT和U得到:
显然Ai22是非奇异的, 根据引理1可知, 不含控制器的系统(1)是正则、无脉冲的. “*”表示与结果无关被省略的项.考虑第i个子系统, 定义以下正定的Lyapunov-Krasovskii泛函:
(8) |
根据Leibinz-Newtow公式和适当维数矩阵Nli, l=1, 2, 可以得到
(9) |
对于适合维数的矩阵
(10) |
用Aix(t)+Ad ix(t-d(t))代替Eẋ(t)并根据schur引理, 将式(9)和式(10)代入到式(8)的右端, 其中η1(t)=[xT(t) xT(t-d(t))]T, 得到
其中, η2(t)=[xT(t) xT(t-d(t)) ẋT(t)]T,
根据式(2), 用DiFiEa i, DiFiEad i替换上式中的ΔAi, ΔAd i可得
且Ψi11, Ψi12和Ψi22定义见式(6), 而φi定义见式(5).如果Ψi < 0且φi≥0, 那么对于充分小的ε, 有
那么, 对于切换信号σ(t)满足:
(11) |
根据Lyapunov-Krasovskii泛函和式(7), 对于切换时刻tk,有
(12) |
根据式(11)和式(12),
(13) |
可以得到
(14) |
其中,
λmax()表示最大特征值, λmin()表示最小特征值, 根据式(13)和式(14)可以得到
这就保证了自治的切换广义时滞系统(1)是指数容许的.对于自治系统(1)代数子系统容许性的证明类似于文献[3].定理得证.
定理2 考虑系统(1), 对于给定常数λ>0, ρ≠0,
其中:
切换序列满足
系统(1)是正则、无脉冲且指数稳定的, 而且指数衰减率
证明:由定理1及引理2, 如果存在具有适当维数的非奇异实矩阵Pi, 对称矩阵Qi>0, Zi>0, N1i, N2i, 以及正数ε>0,使其满足:
其中:
且切换序列满足Td>Td*=lnμ/α.其中μ≥1, 而且满足:EPi≤μEPj, Qi≤μQj, Zi≤μZj, ∀i, j∈N.系统(2)是指数稳定的, 而且指数衰减率
(15) |
定义
(16) |
(17) |
令ETN1iT=λPi, ETN2iT=ρQi, 其中ρ≠0且
定义矩阵:
对矩阵Ξi左乘TiT, 右乘Ti, 得到
接着将式(15), 式(16)和式(17)代入上式, 并令
考虑含有两个子系统的切换广义时滞系统(1), 其中,
由给出的定理2可知, 存在状态反馈控制器uσ(t)(t)=Kσ(t)x(t)+K1σ(t)x(t-d(t)),使得系统(1)满足正则、无脉冲、指数稳定.时变时滞d(t)=|0.5sin(x)|, 仿真算例中取ε=1, d= 0.5, α=0.2, ρ=0.001, λ=0.2,当μ=107.559 3, Td*=23.390 2,最大时滞上界h=1.4, 相应的控制器增益为
本文对于一类不确定切换广义时滞系统, 基于广义Lyapunov稳定性理论和平均滞留时间的方法, 结合自由权矩阵, 给出了使该系统鲁棒容许的充分条件, 并在此基础上考虑引入有记忆状态反馈控制器的闭环系统, 得到了使该闭环系统正则、无脉冲且指数稳定的设计方法.仿真算例说明了该方法的实用性和有效性.
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