1850年Monge将由单参数球面族沿脊线运动生成的包络面定义为圆纹曲面^[1].本文将欧氏空间中的圆纹曲面推广到三维Minkowski空间.将由单参数伪球面族S₁²沿脊线运动生成的包络面定义为圆纹曲面, 并对Weingarten圆纹曲面进行了分类.本文主要讨论了以类时曲线为脊线的圆纹曲面, 用类似的方法可以讨论以类空曲线和类光曲线为脊线的圆纹曲面的性质.

1 预备知识

设E₁³是三维Minkowski空间, 其中的内积定义为

设E₁³中的任意非零向量α, 若〈α, α〉＞0, 则称α为类空向量; 若〈α, α〉＜0, 则称α为类时向量; 若〈α, α〉=0, 则称α为类光向量.特别地, 规定零向量为类空向量^[2].

设c是E₁³中任意一条正则曲线.若曲线c的切向量为类空向量(类时向量、类光向量), 则称c为类空曲线(类时曲线、类光曲线).类似地, 设x=x(u, v)是E₁³中的任意正则曲面, 若曲面x的法向量为类空向量(类时向量、类光向量), 则称曲面x为类时曲面(类空曲面、类光曲面)^[3].

引理1^[4]  设c(s)是以s为弧长参数的类时曲线, 则其满足如下Frenet公式:

(1)

其中：α(s), β(s), γ(s)分别为曲线c(s)的切向量、主法向量和副法向量；κ(s)和τ(s)分别称为c(s)的曲率和挠率函数.

定义1^[5]  设p是E₁³中的一固定点, C＞0是常数.则E₁³中的伪黎曼球定义为

类比欧氏空间中圆纹曲面的定义见文献[6-7], 本文给出如下定义.

定义2  设S是E₁³中由伪球族S₁²沿一条类时脊线c(s)运动所生成的圆纹曲面.则曲面S可表示为

其中:曲线c(s)称为圆纹曲面的脊线(中央线); r(s)称为圆纹曲面的半径函数; s为脊线的弧长参数; {α(s), β(s), γ(s)}为脊线的Frenet标架.

标注1  特别地, 当脊线为直线时, 其Frenet标架可看作正交标架, 圆纹曲面为旋转曲面; 当半径函数为常数时, 圆纹曲面又称为管道曲面^[8].

标注2  除非特殊说明, 本文所讨论的都是E₁³中以类时曲线为脊线的圆纹曲面, 后续不再赘述.

定义3^[9-10]  若曲面的高斯曲率K和平均曲率H满足Φ(K, H)=0, 其中Φ是雅克比函数, 则称其为Weingarten曲面.

2 主要结论

根据定义2, 为了方便, 令r′(s)=tanφ, 这里φ=φ(s)为光滑函数, 则曲面S可表示为

(2)

其中:θ∈[0, 2π); .

下面计算圆纹曲面的两个基本量、高斯曲率以及平均曲率.

首先, 对式(2)分别关于s, θ求偏导数, 结合式(1)得

(3)

其中：

于是, 曲面S的第一基本量为

(4)

由式(4)得

(5)

根据式(3), 式(5)可得曲面S的法向量为

(6)

显然〈n, n〉=1, 所以有如下结论.

定理1  三维Minkowski空间中以类时曲线为脊线的圆纹曲面是类时曲面.

对式(6)分别关于s, θ求偏导数, 可得

(7)

由式(3), 式(7)可得S的第二基本量为

(8)

由曲面S的两个基本量, 经过简单地计算, 不难得到下面的结论, 具体证明略.

定理2  设S是E₁³中的圆纹曲面, 则S的高斯曲率K和平均曲率H可表示为

其中,

并且它们满足

定理3  设S是E₁³中的圆纹曲面, 则S是Weingarten曲面的充要条件是它为管道曲面或者旋转曲面.

证明  首先, 由定理2, 通过计算得

根据H_sK_θ=H_θK_s, 得到

(9)

由曲面S的正则性知K≠r^-2且secφ≠0.

所以有下列两种情况:

1) 当r′=0, K_θ≠0时, S的半径函数r为常数, 此时, S是管道曲面.

2) 当K_θ=0, r′≠0时, 有κ≡0, 此时, S是旋转曲面.

反之, 若S是旋转曲面, 则有κ=0, 代入定理2中的公式, 得

由于K和H中均不含参数θ, 所以等式H_sK_θ=H_θK_s显然成立.

另一方面, 若S是管道曲面, 则半径函数r为常数, 代入定理2中的公式并求导, 得

等式H_sK_θ=H_θK_s恒成立.定理得证.

3 结语

本文将三维欧氏空间中的圆纹曲面推广到Minkowski空间.定义了以类时曲线为脊线的圆纹曲面, 并对Weingarten圆纹曲面进行了分类.此项工作开创了Minkowski空间圆纹曲面研究的先例, 为其他类型圆纹曲面的研究奠定了坚实的基础.