2019, Vol. 40
2. 东北大学 信息科学与工程学院，辽宁 沈阳 110819
2. School of Information Science & Engineering, Northeastern University, Shenyang 110819, China
传统雷达发射固定波形，工作模式单一.随着科技的发展，对雷达性能的要求越来越高，传统雷达难以应对，因此，加拿大学者Haykin提出认知雷达概念[1]，认为是未来雷达的发展方向.在认知雷达系统研究中，自适应波形优化是一个关键技术.
信息论在波形优化研究中得到广泛应用[2-9].Bell首先将互信息(mutual information, MI)理论应用到雷达自适应波形优化的研究中，利用接收信号与目标冲激响应(target impulse response, TIR)之间的互信息最大为优化准则，通过拉格朗日乘数法求解优化波形[2].文献[3]针对多目标估计任务，通过对各个目标特征互信息线性加权方法实现波形优化.Goodman团队在互信息基础上发表了一系列波形优化论文[4-7]，其思想是在接收信号与TIR之间互信息最大作为优化准则的基础上，通过序贯概率比检验(sequential probability ratio test, SPRT)对目标特征进行加权优化发射波形.在文献[8]中，作者针对目标检测任务，通过最大化Kullback-Leibler divergence(KLD)作为准则优化发射波形，同时推导出KLD，MI和SNR之间的关系.文献[9]首先利用卡尔曼滤波设计优化波形使TIR估计误差最小，然后根据相邻两次接收回波信号不相关特点，通过两次回波信号之间的互信息最小作为优化准则选择最优波形.
根据以上分析，基于互信息准则的波形优化方法主要通过接收信号中目标信息量最大化或者不相关参量互信息最小化作为单一的优化准则优化发射波形.本文提出基于双互信息准则优化发射波形，即:接收信号与TIR之间的互信息最大，同时接收信号与杂波冲激响应(clutter impulse response, CIR)之间互信息最小作为波形优化准则建立优化模型，通过最大边缘分配(maximum marginal allocation, MMA)算法求解最优波形，与传统雷达发射固定波形相比能够提高目标检测性能.
1 信号模型及互信息 1.1 信号模型图 1为杂波环境下雷达接收信号模型，其中x(t)为发射信号；h(t)代表目标冲激响应，其为均值为0，功率谱密度为σh2(f)的高斯随机过程；c(t)代表杂波冲激响应，其为均值为0，功率谱密度为σc2(f)的高斯随机过程；n(t)为均值为0，方差为σn2(f)的高斯白噪声；y(t)为接收信号.接收信号可以表示为
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图 1 杂波环境下雷达信号模型 Fig.1 Signal model in the clutter environment |
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(1) |
其中:ys(t)=x(t)*h(t)；yd(t)=x(t)*c(t).
1.2 互信息在很小的频率间隔Fk=[fk, fk+Δf]内，当带宽Δf足够小时，对于所有的f∈Fk，有X(f)≈X(fk), Ys(f)≈Ys(fk), Yd(f)≈Yd(fk)和Y(f)≈Y(fk).X(f), Ys(f), Yd(f)和Y(f)分别为x(t), ys(t), yd(t)和y(t)的傅里叶变换.令
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(2) |
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(3) |
式中Ty为接收信号时间长度.
由式(1)可知，接收信号是3个零均值的高斯随机变量之和，所以接收信号方差为
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(4) |
在频点fk上，接收信号
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(5) |
式中:I(·)代表互信息；H(·)代表信息熵.
根据信息熵的定义，由式(2)~(4)可知
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(6) |
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(7) |
将式(6)和式(7)代入式(5)中，在观测时长Ty内有[2]
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(8) |
考虑在整个信号频带内，通过极限思想，时域上接收信号与目标冲激响应之间的互信息可以通过频域表示为[2]
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(9) |
由式(1)可知，雷达接收信号包括两部分:含有目标信息的回波信号x(t)*h(t)；含有杂波和噪声的干扰信息x(t)*c(t)+n(t).为了提高雷达系统性能，接收端希望接收信号含有目标信息量越多越好，同时含有的干扰信息量越少越好.因此，波形优化准则为:在给定发射信号情况下，接收信号与目标冲激响应之间的互信息最大，同时接收信号与杂波冲激响应之间的互信息最小，准则函数的数学表达式为
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(10) |
式中IC(·)为接收信号与CIR之间的互信息.
准则函数(10)等效为
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(11) |
与IT(y(t); h(t)|x(t))推导类似，接收信号与CIR之间的互信息可以表示为
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(12) |
将式(9)与式(12)代入式(11)中，得优化准则数学表达式为
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(13) |
在发射信号能量Ex约束下，波形优化模型为
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(14) |
当杂波不存在时，即σc2(f)=0，优化模型(14)与文献[2]中的优化模型相同.
2.2 MMA算法求解优化波形当杂波不存在时，优化模型(14)可以通过拉格朗日乘数法求解[2]，而当杂波存在时，使用拉格朗日乘数法求解困难，因此采用MMA算法求解最优波形，首先将优化模型(14)离散化:
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(15) |
令
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(16) |
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(17) |
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(18) |
将式(16)~(18)代入式(15)中，有
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(19) |
对于波形优化问题，可以转化为在
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(20) |
将umax=Ex/Δfk平均分为P份，有PΔ=umax，Δ称为最小能量分配单元，在算法的每一步分配Δ单位的能量，直到PΔ的能量分配完为止.在第一步中，如果L(u(j), j)>L(u(k), k), j≠k，则令u(j)=Δ，然后重复该步骤，直到选择分配下一个Δ到产生式(21)最大的k值，或者产生最大边缘增长的k值.
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(21) |
由于在第1步中已经将Δ分配到k=j处，此时边缘增长为L(2Δ, j)－L(Δ, j)，即能量分配从Δ增加到2Δ，对于其他k值，边缘增长也是相同情况，整个过程直到
为了更好理解MMA算法，举例说明，令N=3，u(1)+u(2)+u(3)=umax=4，Δ=1.希望
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(22) |
达到最大，在总能量为4的情况下，可以将0Δ，1Δ，2Δ，3Δ或者4Δ能量单位分配给u(1)，u(2)或者u(3).
表 1为初始分配能量时L(u(k), k)可能的值.初始分配能量Δ=1时，对于k=1, 2, 3，L(u(k), k)的值分别为0.287 7，0.223 1和0.182 3，最大值为0.287 7，所以第一步时，Δ单位能量分配给k=1处.
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表 1 不同u(k)对应的L(u(k), k)值 Table 1 Values of L(u(k), k) for various values of u(k) |
第一次能量分配后，产生新的边缘能量，见表 2，新的边缘能量分别为0.048 8，0.223 1和0.182 3.最大值为0.223 1，因此Δ单位能量分配给k=2处.按照相同的原理，第二次分配后见表 3，最后一次能量分配后见表 4.表 5总结了最终的能量分配情况，即u(1)=Δ，u(2)=2Δ，u(3)=Δ.
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表 2 第一次分配后不同的u(k)对应的L(u(k), k)的边缘值 Table 2 Values of L(u(k), k) for various values of u(k) after 1st allocation |
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表 3 第二次分配后不同的u(k)对应的L(u(k), k)的边缘值 Table 3 Values of L(u(k), k) for various values of u(k) after 2nd allocation |
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表 4 第三次分配后不同的u(k)对应的L(u(k), k)的边缘值 Table 4 Values of L(u(k), k) for various values of u(k) after 3rd allocation |
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表 5 最终能量分配 Table 5 Final allocation of energies |
假设发射信号能量Ex=10(能量单位)，噪声功率谱密度σn2(f)=0.1，杂波噪声功率比(clutter-to-noise ratio, CNR)CNR=12.9 dB，目标噪声功率比(target-to-noise ratio, TNR)TNR=－5.39 dB.
目标谱与杂波谱如图 2所示.基于双互信息准则的优化波形能量谱如图 3所示，优化波形的主要特点:
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图 2 目标谱与杂波谱 Fig.2 The target PSD and clutter PSD |
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图 3 基于双互信息准则的优化波形能量谱 Fig.3 Optimal waveform based on dual MI criterion |
1) 优化波形将主要能量集中分配给目标特征谱强度大的频带内，虽然目标频谱关于0频率点左右对称，然而由于杂波在频带(－0.5, 0)范围内的强度小于(0, 0.5)频带内的强度，因此优化波形将能量更多地分配给(－0.5, 0)频带内目标频谱强度大的两个频段.
2) 由于算法考虑了接收信号与杂波之间互信息最小因素，因此优化波形将能量仅仅分配给目标频谱强度大于杂波频谱的频带，当杂波强度大于目标强度时，即使在某频带内目标特征很强，优化波形也不会分配能量.
以线性调频信号(LFM)波形作为对比波形，优化波形的检测性能曲线如图 4所示.从图中可以看到优化波形的检测性能在不同的恒虚警概率下始终好于固定LFM波形的检测性能，这是由于优化波形能够将能量分配给目标频谱特征强的频带内，使目标特征获得更多的能量，增加了接收信号的SINR从而提高目标检测性能.
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图 4 目标检测性能 Fig.4 Probability of target detection |
本文提出了一种基于双互信息准则的波形优化方法，该方法考虑接收信号与目标之间互信息最大同时，还考虑接收信号与杂波之间互信息最小，以此作为优化准则，在能量约束下建立优化模型.所提方法的优化波形可将发射能量分配给目标特征强，且目标特征强于杂波特征的频带内，与固定发射波形相比，提高了目标检测性能.
| [1] |
Haykin S.
Cognitive radar:a way of the future[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2006, 23(1): 30–40.
|
| [2] |
Bell M R.
Information theory and radar waveform design[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1993, 39(5): 1578–1597.
DOI:10.1109/18.259642 |
| [3] |
Leshem A, Naparstek O, Nehorai A.
Information theoretic adaptive radar waveform[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, 2007, 1(1): 42–55.
DOI:10.1109/JSTSP.2007.897064 |
| [4] |
Goodman N A, Venkata P R, Neifeld M A.
Adaptive waveform design and sequential hypothesis testing for target recognition with active sensors[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, 2007, 1(1): 105–113.
DOI:10.1109/JSTSP.2007.897053 |
| [5] |
Romero R A, Goodman N A.
Waveform design in signal-dependent interference and application to target recognition with multiple transmissions[J]. IET Radar Sonar and Navigation, 2009, 3(4): 328–340.
DOI:10.1049/iet-rsn.2008.0146 |
| [6] |
Romero R A, Bae J, Goodman N A.
Theory and application of SNR and mutual information matched illumination waveform[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2011, 47(2): 912–927.
DOI:10.1109/TAES.2011.5751234 |
| [7] |
Kim H S, Goodman N A, Lee G K, et al.
Improved waveform design for radar target classification[J]. IET Electronics Letters, 2017, 53(13): 879–881.
DOI:10.1049/el.2017.0536 |
| [8] |
Zhu Z, Kay S, Raghavan R S.
Information-theoretic optimal radar waveform design[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2017, 24(3): 274–278.
DOI:10.1109/LSP.2017.2655879 |
| [9] |
Yao Y, Zhao J, Wu L.
Cognitive radar waveform optimization based on mutual information and Kalman filtering[J]. Entropy, 2018, 20(9): 653–666.
DOI:10.3390/e20090653 |
| [10] |
Kay S.
Waveform design for multistatic radar detection[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2009, 45(3): 1153–1165.
DOI:10.1109/TAES.2009.5259190 |