2019, Vol. 40
对于结构振动的抑制，附加吸振器是常用手段之一，如被动、半主动及主动式吸振器等.单自由度吸振器仅在“单频”激励下抑振效果显著，其优化理论的相关研究已相当成熟，其中“不动点理论”最为经典[1].对于多模态的主振系，多个吸振器联合使用是拓宽其抑振频带的有效手段，如M-DVA[2].但相邻模态频率比小时，解析法将不适用于M-DVA的最优设计，随后基于降次梯度法[3]、摄动法[4]的诸多优化设计相继提出.此外，半主动式、主动式吸振器尽管宽频抑振效果显著，但结构复杂、鲁棒性差，且需提供额外的供能装置.
非线性能量阱(nonlinear energy sink，NES)是利用靶能量传递机制实现快速能量俘获的方法，具有优越的宽频抑振性能.针对NES宽频抑振机理的研究很多，如文献[5]指出NES能够实现多共振峰的振动抑制，原因在于其非线性刚度可随振幅产生变化，使其能在任意频率产生共振；文献[6]揭示了NES与单自由度系统间的能量转移现象，指明当其添加至多自由度系统时，可能会出现共振俘获联级.
NES的刚度对其性能影响非常大.一般来说，结构简单且具有合适非线性刚度的结构最适合于NES结构.国内外学者提出了大量新型结构，如X结构[7]、永磁负刚度结构[8]等.作者提出的分段线性结构[9]，结构简单、能够产生任意非线性力，研究结果证明该结构抑振十分有效.
但是，现无针对具有分段线性刚度的NES参数优化的研究，如何获得其更佳的抑振效果仍是需要解决的问题.因此，本文针对之前提出的分段线性刚度NES模型，利用遗传算法研究了NESs在多自由度系统中的参数优化问题，并进行了相应的数值分析与试验验证工作，从理论上弥补了目前NES参数优化的空白，为解决建筑、航空等领域中非单一频段的振动问题提供了可靠手段.
1 分段线性NES模型如图 1a所示，文中采用的具有分段线性刚度的NES主要由板弹簧组合、NES质量块及固定部分等组成.板弹簧与NES质量块的详细结构如图 1b, 图 1c所示.其中，板弹簧的分段线性刚度kni可表示为
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图 1 分段线性刚度的NES结构 Fig.1 Structure of the NES with piecewise linear stiffness (a)—NES；(b)—板弹簧；(c)—质量块. |
式中:E为弹性模量; Ii, li, bi, hi分别为各板弹簧惯性矩、有效长度、宽度及厚度.
如图 2所示，随振幅增大，板弹簧依次与NES质量块接触，其弹性恢复力呈分段线性变化：
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图 2 非线性刚度与分段线性刚度曲线 Fig.2 Nonlinear and piecewise linear stiffness curve |
式中:x为NES与主振子相对位移; kni, ei分别为板弹簧分段刚度及其间隙.
NES的阻尼可表示为
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(3) |
式中:mn为NES质量; ξ为板弹簧阻尼比.
2 分段线性NESs的参数优化方法遗传算法是基于自然进化机制的智能寻优算法，能实现连续变量与离散变量的混合编码，解决某些多维度的复杂问题，较传统方法具备更优的全局搜索能力，因此本文基于遗传算法进行参数优化.
2.1 基于端点连线拟合的NESs优化方法NES质量、分段线性刚度、阻尼比、布局位置等因素均对抑振性能产生重要影响，应作为参数优化问题的设计变量.但是主振系自由度数增加时，常将多个NES组合使用进行多模态控制.此时，设计变量的个数将成倍增加，致使设计空间增大，导致耗时长、收敛慢等问题.因此，如何缩减设计空间、提高收敛速度是关键问题.
假设预期非线性刚度为立方多项式y=kn·x3，则端点连线拟合后的分段线性刚度kni可表示为
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(4) |
式中:kn为立方刚度系数；ei为拟合间隙.
因此，优化设计中仅以立方刚度系数作为刚度设计变量，又基于拟合形成的分段线性刚度进行模拟分析、求解适应度值，大大缩减了设计空间维度.
2.2 遗传算法的优化设计 2.2.1 优化数学模型1) 目标函数.文献[10]指出当振动系统所受载荷为稳态简谐激励时，应将最小化振子的最大振动幅值作为优化目标.故目标函数为
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(5) |
式中:N为系统振子数量; xi(ω)为主振子位移，ω为频率，其范围为0.5ω1≤ω≤1.2ω3，ω1, ω3分别为主系统1, 3阶共振频率.
2) 设计变量及其约束条件.通常忽略NESs的阻尼特性，取NESs质量(mn1，mn2)、立方刚度系数(knNES1，knNES2)、布局位置(pn1，pn2)为设计变量.NESs质量限制在主振子质量的10%左右较为合理，但限于制造条件其质量不宜过小；考虑到能量转移条件，立方刚度系数的取值范围也需限制.式(6)给出了设计变量的约束条件.
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(6) |
式中:mmax, mmin为NESi质量的最大、最小值；knmax, knmin为NESi的立方刚度系数最大、最小值；pmax, pmin为NESi安装节点编号(即振子编号)最大、最小值.
2.2.2 优化算法设计设计变量中，结构参数为连续变量，布局位置为离散变量.为实现上述两类变量的耦合优化，文中的编码方式采用二进制与实数混合编码，且两者染色体交叉、变异算子均不同.其中，二进制编码使用单点交叉算子与基本位变异算子；实数编码使用算数交叉算子与非均匀变异算子[11].
3 NESs在多层框剪结构中的优化 3.1 框剪结构-NESs动力学建模现有如图 3a所示的某不锈钢材质多层框剪结构，本文对该框剪结构-NESs系统进行优化研究.
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图 3 多自由度NESs系统的力学模型 Fig.3 Model of multi-DOF NESs system |
假设NES1, NES2分别添至框剪结构的2, 3层，则简化模型如图 3b表示，动力学方程如式(7)所示.
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(7) |
式中:mi分别为主系统各振子质量; 侧向剪切刚度ki由式(8)得出; 阻尼ci可通过相关的模态试验获得.
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(8) |
式中:E, I分别为立柱弹性模量、惯性矩；b, tc, h分别为立柱宽度、厚度、层间高度.式(7)中，mnj, FNESj, cNESj为NESj的质量、弹性力、阻尼力；Fcosωt为简谐激励.其中，FNES1, cNES1可表示为
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(9) |
式中:F, c的展开式参考式(2), (3). FNES2, cNES2同理.其他布局，改变FNESj, cNESj方程中的叠加位置即可，不作赘述.
3.2 优化结果及其振动特性分析 3.2.1 优化参数多层框剪结构底端固支，其结构参数:ρ =7.93 g/cm-3，l=115 mm，b=60 mm，h=100 mm，tb=8 mm，tc=0.8 mm；假设NES1各间隙值为0.25, 0.50, 0.75 mm，NES2各间隙值为0.5, 1.0, 1.5 mm；假设主系统阻尼为ci=0.3 N·s/m，激励位置为底层钢板，大小为2cosωt N.NESs的优化设计变量限制范围如表 1所示.
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表 1 NESs设计变量优化范围 Table 1 Optimized range of design variables for NESs |
如图 4所示，未附加NESs时，主系统的前三阶固频分别为30，89，122 Hz.板层1的前三阶最大加速度传递率分别为43, 162和237.6 ms-2/N；板层2的前三阶最大加速度传递率分别为78.8, 98.9和159.7 ms-2/N；板层3的前三阶最大加速度传递率分别为95.8, 173和79.6 ms-2/N.
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图 4 未附加NESs的主系统幅频响应 Fig.4 Response of the primary system without NESs (a)—一阶共振区；(b)—二阶共振区；(c)—三阶共振区. |
1) 优化结果.在激励频率范围(0.5ω1≤ω≤1.2ω3)内，遗传算法的相关参数设置如下:种群规模为40，最大代数为35，交叉概率为0.7，变异概率为0.01.
图 5为5次优化计算后的最佳迭代收敛曲线.表 2给出了所获最佳参数取值.
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图 5 优化算法迭代过程 Fig.5 Iterative process of optimization algorithm |
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表 2 最佳NESs参数 Table 2 Optimized parameters of the NESs |
2) 系统振动特性分析.根据图 6，附加优化后的NESs后，系统的前三阶固频分别为27，79，112 Hz.板层1的前三阶最大加速度传递率分别为11.8，33.7和84 ms-2/N，较原系统分别降低72.6%, 79.6%及65%；板层2的前三阶最大加速度传递率分别为7.9，26和87 ms-2/N，较原系统分别降低90%, 74%及46%；板层3的前三阶最大加速度传递率分别为11.4，24.4和42 ms-2/N，较原系统分别降低88%, 86%及47%.其中，三阶共振区抑振率偏低的原因可能在于，主系统振动幅值不足致使NESs非线性特性变差.
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图 6 附加NESs的主系统幅频响应 Fig.6 Response of the primary system with NESs (a)—一阶共振区；(b)—二阶共振区；(c)—三阶共振区. |
图 7中，各阶共振区存在SMR行为，具体表现为时域曲线的调制响应.频率为27，80 Hz时, 主系统可以观察到类似拍振的现象，此时抑振性能较佳.
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图 7 共振区时域响应 Fig.7 Time-domain response in resonance regions (a)—27 Hz; (b)—80 Hz. |
可见，NES能够同时抑制多层框剪结构的多个共振峰.相比传统吸振器，减少了附加调谐质量的数量，且表现出了良好的宽频抑振效果.
4 试验验证所设计的试验台结构如图 8所示.由激振器提供基础简谐激励，通过加速度传感器采集振动波形，力传感器采集激振力信号，系统的频域响应以传递函数的形式给出.
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图 8 试验装置照片 Fig.8 Picture of the test device |
如图 9所示，无NESs的系统的前三阶固频分别为26，82，115Hz.板层1的前三阶最大加速度传递率分别为26, 101.7和127 ms-2/N；板层2的前三阶最大加速度传递率分别为56, 39.4和219 ms-2/N；板层3的前三阶最大加速度传递率分别为70, 90.8和99 ms-2/N.
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图 9 未附加NESs的主系统幅频响应 Fig.9 Response of the primary system without NESs (a)—一阶共振区；(b)—二阶共振区；(c)—三阶共振区. |
将NES1，NES2分别附加于框剪结构的第2，3层，所测频域响应如图 10所示.系统的前三阶固频分别为26，79，115Hz.板层1的前三阶最大加速度传递率分别为6.3, 45.3和46.5 ms-2/N，抑振率分别达到76%，55%，63%；板层2的前三阶最大加速度传递率分别为16.8, 24和76.12 ms-2/N，抑振率分别达到70%，39%，65%；板层3的前三阶最大加速度传递率分别为25.4, 42.2和22.06 ms-2/N，抑振率分别达到64%，54%，78%.如图 11所示，在25，77 Hz时均出现了明显的强调制响应现象.
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图 10 附加NESs的主系统幅频响应 Fig.10 Response of the primary system with NESsZ (a)—一阶共振区；(b)—二阶共振区; (c)—三阶共振区. |
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图 11 共振区时域响应 Fig.11 Time-domain response in resonance regions (a)—25 Hz; (b)—77 Hz. |
试验结果与数值分析基本吻合，NES在各阶共振频率处均获得了优异的吸振效果，且在响应趋势上具有良好的一致性.但两者结果在数值上略有差别，如试验结果中二阶固频处的抑振率普遍略低，其误差原因可能是:1)简化模型时，由于夹具、立柱质量的理想化忽略所导致的简化误差，会引起求解精度下降；仿真模型忽略其他方向振动影响，仅考虑集中质量的水平振动，故模型的准确性受到局限.2)由于试验系统的阻尼很难精确测定，因此仿真模型的系统阻尼特性必然引起计算误差.3)分段线性刚度NES的尺寸紧凑，试件加工、试验装夹等过程中均无法避免介入主观的人为误差.
5 结论基于所提出的具有分段线性刚度的非线性NES结构，采用遗传算法研究了NESs在多自由度系统中的参数优化问题，主要结论如下:
1) 提出通过端点连线拟合的方法，以非线性刚度系数等效多个分段线性刚度，有效地减小了优化设计空间维度，提高了求解效率.
2) 以某三层框剪结构为例，采用实数与二进制混合编码方式解决了分段线性NESs在多自由度系统中的优化问题.
3) 数值分析结果表明优化后的NESs表现出优越的宽频抑振效果，能够有效地抑制多个共振峰，试验验证了针对所提的具有分段线性刚度NESs的优化手段的有效性.
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