2019, Vol. 40
齿轮作为最主要的传动机构已被广泛地应用在航天航空、船舶、汽车、机械制造等领域.高速重载工况下的齿轮，齿面间的相对滑动将产生大量摩擦热，受热后的轮齿变形将会引起齿轮的热传递误差，从而导致齿轮振动加剧、噪声变强、加速磨损以及缩短寿命.因此，对齿轮受热后的传递误差精度的可靠性研究是具有工程实际意义的.
在评估具有高度非线性和隐式功能函数的机械结构可靠性问题时，传统的一阶矩(FORM)、二阶矩(SORM)和Monte Carlo(MCS)模拟仿真很难应用于工程实际中[1].为此，基于响应面法[2]、人工神经网络[3]、支持向量机[4]、Kriging[5-6]等代理模型的可靠性分析方法越来越受到关注.由于经典响应面法是基于多项式的回归模型，其结果往往易受到多项式函数形式及样本点选择的影响，从而抑制了该方法对极限状态的拟合精度.为此，Isukapalli等[7]提出了一种基于多项式混沌展开(polynomial chaos expansion, PCE)的随机响应面法.同时，基于Kriging代理模型的结构可靠性分析技术也日趋成熟，但其基函数往往采用常数项作为回归部分，而由文献[8]可知在SDoE较少时，基函数阶次越高Kriging模型越精确.然而，随着x的维数和多项式阶次的增加，基函数的项数也急剧增加，这使得Kriging模型在高阶的可靠性分析中(如立方)难以计算.随后，Schoebi等[9]提出了一种新的结合PCE和Kriging的代理模型，即多项式混沌展开的Kriging代理模型(polynomial-chaos-based Kriging, PC-Kriging)，并通过6种基准分析函数对PC-Kriging模型进行了验证，结果表明:PC-Kriging的数值精度要比PCE或Kriging的要好.此外，诸多学者还提出了若干主动学习函数[5]，如U, EFF, LIF等，旨在尽可能少地调用功能函数，提高结构可靠性分析效率.
据作者所知，国内外对PC-Kriging模型的研究较少，且尚未发现其在机械结构可靠性分析中的相关研究工作，同时为提高复杂结构可靠性分析的计算效率与计算精度，本文提出一种PC-Kriging代理模型与主动学习函数LIF相结合的结构可靠性分析方法(APCK-LIF)，并将其应用在齿轮的热传递误差精度的可靠性分析中，来说明所提方法的高效性和适用性.
1 PC-Kriging模型Kriging代理模型假设真实功能函数由两部分组成，即回归模型和随机函数.
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(1) |
其中:gh(x)(h=1, 2, …, p)表示回归的基函数; z(x)为高斯随机过程.本文对Kriging模型回归基函数作如下改进:
假设输入随机变量x服从多元标准正态分布，且各分量是独立的.令πj(m)(j=1, 2, …)表示完备的Hilbert空间L2(R, fxi)标准正交基，且为fxi的一个标准正交函数系列πj(m)(j=1, 2, …).
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(2) |
其中fxi是xi (xi为x的第i个分量)的概率密度函数.
一个完备的Hilbert空间L2(R, f)的标准正交基(f表示x的联合概率密度函数)是
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其中α=[α1, α2, …, αM]是一个自然数的M维向量.这里，满足总项数|α|=α1+α2+…+αM不超过给定阈值T0的项将被保留作为Kriging模型基函数的候选项.基函数的候选项AM, T0可表示为
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(3) |
AM, T0中项数可由P表示.
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(4) |
然后，考虑基函数的所有候选项的“完备”设计矩阵是
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其中:αi∈A (i=0, 1, …, P-1)；xn∈SDoE(n=1, 2, …, N).
由式(3)，如果使用AM, T0中的所有项作为Kriging模型的基函数，那么对调用功能函数的次数会随着T0的增多而急剧增加.为了克服这个问题，在构建稀疏多项式基函数时，在AM, T0中仅有一部分项是被保留下来的.LAR[10]被用来提供功能函数的可能的多项式基函数集的数量，同时AIC[11]用来决定哪个是最优的.Kriging基函数的选择步骤如下:
步骤1 设置相关参数值，即保留多项式T0的最大阶次和基函数pmax的最多项数.本文设T0=3，pmax=0.5 card(SDoE).
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步骤2 初始化所有候选项中的系数aαi=0 (i=0, 1, …, P-1).根据LAR理论，初始化后的剩余项等于结构响应Y.
步骤3 找出ψαi(i=0, 1, …, P-1)与当前残差之间的相关系数最大的向量ψα′1.
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步骤4 h＝2，调整aα′1在G1上当前残差的最小二乘系数的方向，直到另一个向量ψα′2与G1具有相同的相关系数.
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步骤5 h=h+1，共同移动a朝向当前残差为Gh-1的联合最小二乘系数，直到向量ψαh与当前残差Gk-1具有相同的相关系数.
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步骤6 重复步骤5，直到满足h=H.
步骤7 计算Gh (h=1, …, H)的AIC值：
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其中SSEh=[Gh(GhTGh)-1GhY-Y]T[Gh(GhTGh)-1GhY-Y].
步骤8 找到最小的AICh (h=1, …, H).
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然后，对于SDoE和Y，Kriging模型的最优基函数为
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本文构造了一种主动学习的PC-Kriging模型的结构可靠性分析方法，采用所提出的APCK-LIF模型方法来迭代改进PC-Kriging模型，直到其精度满足停止准则.
步骤1 t=0，采用拉丁超立方抽样(LHS)获得初始DoE点，并调用真实的功能函数计算对应的功能函数值.LHS的超矩形是[-nσ, nσ]M，最初的点数为N0，本文设置nσ=5.
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步骤2 基于polynomial-chaos-Kriging构造PC-Kriging模型
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(5) |
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式中，
步骤3 判断学习过程是否收敛.根据式(5)，可以得到失效概率估计值
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(6) |
其中，Φ(－Ut(xMC, i))表示xMC, i对应的响应值
从而得到停止条件：
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(7) |
如果符合停止条件，执行步骤5，否则，执行步骤4.
步骤4 t=t+1，选取最佳样本点.引入文献[5]的学习函数LIF(x):
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(8) |
其中，
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根据式(8)选取LIF(x)最大值的点作为最佳样本点，并计算其功能函数值，更新当前的DoE和Y，然后返回到步骤2.
步骤5 判断迭代过程是否停止.如果δMC≤0.03，输出失效概率，否则扩大MCS样本数，返回步骤2.具体流程如图 1所示.
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图 1 主动学习PC-Kriging方法流程图 Fig.1 Flowchart of active learning PC-Kriging |
齿轮传递误差主要包括轮齿受载荷作用产生的弹性变形和齿轮在加工制造及装配过程中产生的误差[12].本文研究重点为考虑温度和载荷共同作用下的弹性变形对齿轮传递误差的可靠性分析，齿轮模型为渐开线直齿轮，转矩为140 N·m，转速为9 280 r/min.相关参数如表 1所示.
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表 1 齿轮的基本参数 Table 1 Basic parameters of gears |
假设齿轮模数、齿宽、压力角、线膨胀系数以及弹性模量为随机变量，且各随机变量均服从正态分布，其均值与方差分布形式如表 2所示.
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表 2 随机变量参数 Table 2 Random variable parameters |
采用ANSYS有限元分析软件以从动轮某一单齿为研究对象进行热分析，再采用载荷传递法对齿轮进行热变形的耦合分析，提取齿轮副的热变形量，绘制齿轮副的非渐开线误差曲线.
轮齿综合变形情况如图 2所示，内侧虚线是理论齿廓线，外侧实线是变形后的实际齿廓线.可以看出齿轮工作部分变形随着半径的增大而增大，变形最大的地方均出现在齿顶处.
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图 2 从动轮某一单齿综合变形 Fig.2 Comprehensive deformation of single tooth driven wheel |
使用MATLAB从ANSYS结果中读取最大变形量Δy，将齿轮实际传递误差的波动范围超过极限值作为齿轮传递误差失效的准则，齿轮传递误差状态函数可以表示为
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(9) |
式中:|y|=0.05 mm；Δy=ymax-ymin; ymax, ymin是实际传递误差y在传动过程中的最大值和最小值；|y|是齿轮实际传递误差波动范围的极限阈值，当y=Δy时，G(x)>0，齿轮处于安全状态，当y≤Δy时，G(x)≤0，则齿轮处于失效状态.
3.2 热传递误差可靠度计算与分析根据所提可靠性分析方法流程进行MATLAB编程，首先使用拉丁超立方选取25的点作为初始样本点，并使用ANSYS仿真得到其对应的最大变形量.根据随机变量和响应值建立初始的PC-Kriging模型，用学习函数LIF选择最优点加入到样本空间中，调用ANSYS仿真求得响应值，更新PC-Kriging模型.这样再经过194次调用ANSYS仿真后达到规定精度.
用Monte Carlo方法抽样100 000次计算的结果作为计算标准，分别用AK-MCS+U，AK-SSIS+U和本文提出的算法计算齿轮热传递误差可靠性.表 3将不同的方法进行比较.
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表 3 不同方法结果 Table 3 Results of different methods |
通过表 3可知，本文提出的方法需要调用ANSYS仿真软件的次数最少，节约了大量计算时间，且本文提出的方法计算精度较高.
4 结论1) 本文提出了一种新的改进Kriging基函数与主动学习函数相结合的可靠性分析方法，采用Polynomial-Chaos-Expansion作为Kriging模型的基函数对原始Kriging模型作改进，使得PC-Kriging方法在基函数回归方面具有更大的灵活性.
2) 通过对齿轮热状态传递误差可靠性分析可知，所提方法相对于AK-MCS+U和AK-SSIS+U方法将迭代次数从300余次降至194次，同时精度提升到-0.55%，具有更快的效率以及更高的精度.
3) 对齿轮系统可靠性分析表明，所提方法亦适用于求解功能函数为隐式的多维非线性问题，为解决实际工程中的可靠性问题提供了重要的参考.
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