行星轮系是各种机械传动系统的重要组成部分.行星轮系的振动直接影响整个机械系统的可靠性, 如果引起共振, 将会产生不可估量的后果.行星齿轮系统啮合刚度作为轮系内在激励, 对轮系振动特性有着重要的影响.因此, 对行星轮系啮合刚度的研究便显得尤为重要.

国内外学者对行星轮系啮合刚度进行了一定的研究.Parker ^[1]提供了行星轮系相对相位和啮合周期的计算方法.Liang等^[2]使用能量法, 将齿轮轮齿建立在基圆上并假设齿轮基体为刚体, 计算了太阳轮-行星轮及齿圈-行星轮啮合刚度.而后, Liang等^[3]改进啮合刚度计算模型, 将轮齿建立在齿根圆上, 使计算结果更加准确.Chen等^[4]使用解析方法研究了齿圈齿根裂纹的啮合刚度和动力学响应.扬扬等^[5]针对行星齿轮的APDL参数化建模过程进行了论述.Ambarisha等^[6]使用有限元以及解析方法计算了平面行星轮系啮合刚度.Xue等^[7]利用有限元方法计算了行星轮系扭转刚度并且研究了裂纹对刚度的影响.基于文献[7], Xue等^[8]研究了含裂纹行星轮系振动特性.Fan等^[9]建立非线性动力学模型, 研究了行星轮系杆盘片裂纹对系统振动的影响.

上述研究多假设齿圈基体为刚体且不考虑实际行星轮系结构布置, 同时, 研究对象多为标准齿轮.本文针对解析方法不能有效分析复杂行星轮系啮合刚度的情况, 使用有限元方法建立考虑修形和变位且含太阳轮减重孔、齿圈固定孔、柔性系杆的模型, 分析修形和轮系结构参数对行星轮系啮合刚度的影响, 研究结果能够为行星轮系设计提供参考.

考虑行星轮系具体结构(见图 1), 基于ANSYS软件的APDL功能, 建立考虑修形、太阳轮减重孔、齿圈固定孔及系杆的平面行星轮系模型(如图 2所示), 行星轮系主要参数如表 1所示.

图 1(Fig. 1)

图 1 行星轮系结构 Fig.1 Structure of the planetary gear system

图 2(Fig. 2)

图 2 行星轮系示意图 Fig.2 Schematics of planetary gear system (a)—太阳轮-行星轮啮合；(b)—齿圈-行星轮啮合；(c)—含系杆齿圈-行星轮-太阳轮啮合.

表 1(Table 1)

表 1 行星轮系主要参数 Table 1 Main parameters of the planetary gear pairs 轮系参数 太阳轮 行星轮 齿圈 齿轮个数n 1 1 1 齿数z 27 30 87 模数m/mm 14 14 14 变位系数χ 0.223 9 0.227 8 0.679 5 齿顶修形长度La/mm 5.6 5.6 — 齿顶修形量Ca/mm 0.056 0.056 — 压力角α/(°) 22.216 22.216 22.216 齿顶高系数ha* 1.0 1.0 1.0 顶隙系数c 0.25 0.25 0.25 内孔直径d/mm 200 290 — 外缘半径R5/mm — — 721 弹性模量E/GPa 206 206 206 泊松比υ 0.3 0.3 0.3 摩擦系数μ 0.1 0.1

表 1 行星轮系主要参数 Table 1 Main parameters of the planetary gear pairs

图 2中行星轮系有限元模型采用PLANE82单元模拟齿轮, BEAM188单元模拟系杆, 在啮合线上建立CONTA172和TARGE169接触对模拟齿轮接触.在太阳轮矢量半径为R₁和齿圈矢量半径为R₃的圆周上分别建立6个均布的半径为R₂的减重孔和16个均布的半径为R₄的固定孔.行星轮和太阳轮通过系杆联结在一起并和齿圈组成行星轮系.

齿顶修形对行星轮系传动具有重要意义, 能够使传动过程更加平稳.太阳轮-行星轮啮合有限元模型如图 2a所示, 齿顶修形示意如图 3所示.太阳轮和行星轮的内孔节点分别和O₁和O₂耦合形成刚性区, 行星轮一方面绕着中心点O₂自转, 另一方面绕着中心点O₁公转.在每个啮合位置, 行星齿轮中心O₂所有自由度均被约束, 太阳轮只能绕O₁转动, 在太阳轮中心O₁施加顺时针扭矩T, 由于齿轮基体和轮齿具有弹性, 所以参与啮合齿轮会产生弹性变形, 提取O₁位置的扭转角Δθ, 则太阳轮-行星轮啮合刚度K可由式(1)获得:

(1)

图 3(Fig. 3)

图 3 轮齿齿顶修形示意图 Fig.3 Schematic of the mesh tooth with gear tip relief

其中r_b为太阳轮基圆半径.

现基于表 1数据研究修形对太阳轮-行星轮啮合刚度影响, L_{a_sun}, L_{a_pla}分别表示太阳轮、行星轮齿顶修形长度; C_{a_sun}, C_{a_pla}分别表示太阳轮、行星轮齿顶修形量.当修形量C_{a_sun}=C_{a_pla}=C_a=0.056 mm, 修形长度L_{a_sun}=L_{a_pla}=L_a=0, 2.6, 3.6, 4.6, 5.6 mm时, 啮合刚度如图 4a所示.当修形长度L_{a_sun}=L_{a_pla}=L_a=5.6 mm, 修形量C_{a_sun}=C_{a_pla}=C_a=0, 0.006, 0.016, 0.036, 0.056 mm时, 啮合刚度如图 4b所示.从图 4中可以看出:随着修形长度L_a、修形量C_a增大, 啮合刚度下降明显; 当L_a=5.6 mm, C_a=0.056 mm时, 啮合刚度下降8.60%, 且单双齿啮合过渡区域刚度曲线更加平缓.

图 4(Fig. 4)

图 4 齿顶修形对太阳轮-行星轮啮合刚度影响 Fig.4 Influence of gear tip relief on sun-planet mesh stiffness (a)—修形长度影响；(b)—修形量影响.

太阳轮减重孔大小和位置对啮合刚度的影响如图 5所示, 其中R₁, R₂分别表示减重孔径向位置和其半径(见图 2a).图 5表明:1)当减重孔半径逐渐增大时, 啮合刚度逐渐减小, 尤其当太阳轮-行星轮在减重孔附近啮合且处于单齿啮合区(图 5b中啮合位置A附近), 啮合刚度下降明显(下降10.34%); 2)随着R₁的增加(即减重孔越来越靠近轮齿), 啮合刚度逐渐下降, 但啮合刚度变化不大(下降1.40%).啮合刚度随减重孔半径增大而明显下降的原因主要是更大的减重孔同时对齿轮基体和轮齿的承载能力产生更强的削弱作用.啮合刚度随减重孔径向位置更改而变化不明显的原因是随着减重孔逐渐靠近轮齿, 减重孔对轮齿承载能力的削弱作用增大, 但是对齿轮基体承载能力的削弱作用减小, 所以齿轮啮合刚度的变化不大.

图 5(Fig. 5)

图 5 太阳轮减重孔对太阳轮-行星轮啮合刚度影响 Fig.5 Influence of sun gear lightening hole on sun-planet mesh stiffness (a)—减重孔位置影响；(b)—减重孔尺寸影响.

齿圈-行星轮啮合有限元模型如图 2b所示, 齿圈通过固定孔被约束, 而行星轮绕自身中心O₂自转同时绕齿圈中心O₁公转, 行星齿轮约束和加载方式和2.1节中的太阳轮的情况类似, 齿圈-行星轮啮合刚度同样可以通过式(1)获得, 这时T, r_b和Δθ分别表示行星轮输入扭矩、基圆半径、O₂扭转角.

齿轮修形对齿圈-行星轮啮合刚度同样有较大的影响.当修形量C_{a_pla}=C_a=0.056 mm, 修形长度L_{a_pla}=L_a=0, 2.6, 3.6, 4.6, 5.6 mm时, 啮合刚度如图 6a所示.当修形长度L_{a_pla}=L_a=5.6 mm, 修形量C_{a_pla}=C_a=0, 0.006, 0.016, 0.036, 0.056 mm时, 啮合刚度如图 6b所示.从图 6中可以明显地看出修形长度越大, 双齿区域越小.

图 6(Fig. 6)

图 6 齿顶修形对齿圈-行星轮啮合刚度影响 Fig.6 Influence of gear tip relief on ring-planet mesh stiffness (a)—修形长度影响；(b)—修形量影响.

扭矩对齿圈-行星轮啮合刚度的影响如图 7所示, 从图中可以看出随着扭矩的增大, 啮合刚度逐渐增大.值得注意的是当齿圈-行星轮在齿圈固定孔附近啮合时, 啮合刚度达到最大(见啮合位置A, B, C); 齿轮在相邻固定孔中间区域啮合时, 啮合刚度达到最小(见啮合位置D, E); 以上啮合刚度波动的原因是固定孔的约束作用使得固定孔周边齿圈基体的刚性增加, 所以刚度较大.但是, 距离固定孔较远的区域, 固定孔的约束作用明显减少, 齿圈基体柔性明显增大, 所以啮合刚度较小.图 7中固定孔Pin1, 2, 3和啮合位置D, E如图 2b所示.

图 7(Fig. 7)

图 7 不同扭矩条件下齿圈-行星轮啮合刚度 Fig.7 Ring-planet mesh stiffness under different torques

齿轮支持率m_bh=b/h是指轮缘厚度b和全齿高h的比值, 其大小的改变会对啮合刚度产生影响, 继而会影响裂纹扩展路径^[10], 因此针对像齿圈这种轮缘厚度较薄的齿轮研究便显得尤为重要.不同支持率条件下, 齿轮的啮合刚度如图 8所示, 齿圈支持率m_bh从2.88增长到4.88(即齿圈轮缘越来越厚), 啮合位置A, D处的啮合刚度增长情况如表 2所示.其中ΔK_3.88=K_3.88-K_2.88, 即支持率m_bh=3.88和m_bh=2.88时, 啮合刚度之间差值, P_3.88=(ΔK_3.88/K_2.88)×100%, 即啮合刚度增加百分比, 表 2中其他符号含义类似.图 8和表 2显示, 随着齿圈支持率的增大, 啮合刚度逐渐增大, 但是A处啮合刚度增大百分比要明显小于D处, 这是由于在A处, 齿圈-行星轮在齿圈固定孔附近啮合, 固定孔被约束死, 该处齿圈基体刚度很大, 整体角位移Δθ主要取决于轮齿弹性变形, 所以齿圈基体厚度的增大, 并不会带来明显的刚度增加.但在D处, 啮合位置处于两相邻固定孔之间(见图 2b), Δθ取决于轮齿和基体共同的弹性变形, 所以, 此时齿圈基体厚度的增大所带来的啮合刚度增大更加明显.

图 8(Fig. 8)

图 8 齿圈支持率对啮合刚度的影响 Fig.8 Ring-planet mesh stiffness under different backup ratios

表 2(Table 2)

表 2 不同支持率啮合刚度比较 Table 2 Mesh stiffness comparisons under various backup ratios 位置 A 0.041 0.058 1.21 1.71 D 0.147 0.218 5.00 7.40

表 2 不同支持率啮合刚度比较 Table 2 Mesh stiffness comparisons under various backup ratios

大多数文献研究不考虑系杆, 即假设系杆为刚体, 但实际生活中任何材料的系杆都不可能是刚体, 皆具有柔性, 现选用硬质铝合金、灰口铸铁、合金钢作为制造系杆材料, 其弹性模量分别为71, 130, 206 GPa, 以此研究系杆柔性对行星轮系啮合刚度的影响.含柔性系杆行星轮系有限元模型如图 2c所示, 太阳轮和行星轮之间通过系杆联结.不同材质系杆条件下, 轮系啮合刚度如图 9所示.图 9表明, 随着系杆弹性模量的减小, 轮系啮合刚度明显减小, 并且啮合刚度在啮合周期内波动减弱, 这主要是由于随着系杆弹性模量的减小, 系杆柔性增大, 系杆变形在轮系整体弹性变形所起作用逐渐变大.

图 9(Fig. 9)

图 9 柔性系杆对啮合刚度的影响 Fig.9 Effect of the flexible carrier arm on mesh stiffness

1) 齿顶修形使行星轮系单双齿过渡区域啮合刚度曲线更加平滑.当修形长度和修形量较大时, 啮合刚度下降明显, 有利于行星齿轮系统减振降噪.

2) 随着减重孔逐渐增大, 啮合刚度逐渐减小.尤其当齿轮在减重孔附近啮合且处于单齿啮合区时, 啮合刚度下降明显.但是, 减重孔位置对啮合刚度影响较小.

3) 靠近齿圈固定孔位置处啮合刚度值比远离固定孔位置处的啮合刚度值大.随着齿圈支持率增大, 啮合刚度逐渐增大, 但靠近固定孔位置处比远离固定孔位置处啮合刚度增大量小.

4) 随着系杆柔性的增大, 行星轮系啮合刚度下降明显且周期性变化愈加平缓.