2019, Vol. 40
2. 沈阳化工大学 装备可靠性研究所, 辽宁 沈阳 110142
2. Equipment Reliability Institute, Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang 110142, China
传统的零件可靠度计算是直接运用应力-强度干涉模型进行计算的, 将零件所受的载荷和材料强度当成某一固定的值[1-4].但是实际上载荷大多是多次反复作用的, 具有很大的随机性, 在计算可靠度时如果忽略载荷的影响会使计算结果产生较大的偏差.此外零件本身也存在着随着使用时间的增加零件材料强度随之逐渐退化的问题.对于机械零件的可靠度来说, 这两方面的因素是极为重要的.Andrieu等[5]对可靠性技术理论进行了深入的研究并提出了一种计算动态可靠度的模型; 赵建印等[6-7]在传统的应力-强度干涉模型的基础上分别考虑了周期性随机应力和复合应力的影响; Huang等[8]研究了变量的随机性, 并建立了广义动态的干涉模型; Noortwijk等[9]对某些常见零部件的强度退化进行了深入研究, 并统计分析了强度服从Gamma过程时零部件的可靠性变化, 给出了强度退化下的动态应力-强度模型.
本文采用随机摄动法、顺序统计理论、剩余强度理论等研究了考虑随机载荷和强度退化下的机械零件的动态可靠性问题, 并利用四阶矩法对其进行灵敏度求解.以零件螺栓为例, 得出了随时间变化的螺栓可靠度和灵敏度的变化曲线, 研究了各基本变量的变化对螺栓可靠度的影响程度, 并通过Monte Carlo方法验证了该方法的有效性.
1 可靠性设计的摄动法在静态可靠性分析中, 由干涉理论可知零件的临界失效状态方程可表示为
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(1) |
式中:r为材料强度; s为载荷; X=[X1, X2, …, Xn]T为零部件的参数向量; n是随机参数的数量.零部件的状态可表示为
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(2) |
由随机摄动理论可知, 参数X和函数g(X)可分别展开为
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(3) |
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(4) |
其中:d代表变量中的已知部分; p代表变量中具有零均值的随机部分, 其值远远小于确定部分的值; ε是一个很小的参数, 其绝对值在0~1之间.
依据随机分析原理[10]可推导出g(X)的前四阶矩分别为
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(5) |
式中:(·)[k]=(·)[k－1](·)=(·)⊗(·)…⊗(·)为Kronecker幂, ⊗表示Kronecker积; Var(X)表示X的方差; C3(X)表示X的三阶矩; C4(X)则是X的四阶矩.
将g(X)对参数X求偏导数可得
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(6) |
将∂g/∂XT代入到式(5)中, 可以得到g(X)前四阶矩的具体表达式.
二阶矩方法和四阶矩方法是两种比较准确有效的可靠度求解方法, 其可靠性指标分别由以下两式计算:
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(7) |
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(8) |
其中：a3g=θg/σg3; a4g=ηg/σg4.当随机参数为正态分布时, 可以直接用式(7)求出其可靠度指标, 进而求出可靠度.然而实际上随机参数的分布函数大多是无法知道的, 但能确定其前四阶矩的具体数值, 这时就可用式(8)求出其可靠度指标, 然后再求出可靠度.可靠度计算公式可用式(9)来表示:
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(9) |
其中，φ(·)为标准正态分布函数.
2 动态可靠性建模 2.1 载荷随时间的变化由于载荷的出现及其大小都是一个随机过程, 因此在研究载荷作用的过程中, 必须将随机载荷作用过程转变为设计服役期内最大等效载荷才能进行分析计算.故可将整个过程拆分成多个相同的小过程, 记录其峰值的分布情况, 并把载荷峰值看作在每个时间段内失效时的最大等效载荷, 得到载荷峰值在整个时段内的分布函数.整个过程中载荷的出现及大小都是随机变化的, 但最大载荷的期望是不变的, 即在整个过程中最大载荷的期望值不会随时间的改变而发生改变.现对载荷模型作如下处理:
1) 将载荷作用时间T平均分成n个时段, 并用τ来表示.
2) 统计各个时间段内的最大载荷si, 并确定其分布函数Fτ(x).
3) 假设各个时间段的最大载荷相互独立并具有相同的概率分布函数.
现在将这n个作用载荷看作是从整个载荷母体里抽取的n个, 并且规定这n次载荷中的载荷最大值为smax, 如果在smax作用下零件是可靠的, 则在n次载荷中的其他载荷作用下零件也是可靠的, 也就是说使零件可靠的条件是载荷的最大值小于其强度值.故研究零件在n次随机载荷作用下的可靠度问题就归结为求零件在最大载荷作用下的可靠度.由顺序统计理论可知, n次随机载荷作用下的最大载荷smax实际上就是由载荷样本(S1, S2, …, Sn)所构成的最大顺序统计量.连续n个时段最大载荷的分布函数可以根据最大项的极值分布理论得到:
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(10) |
当时段n很小时可以通过式(10)求出最大载荷的分布函数, 但如果时段n很大时计算则变得特别繁琐.当n个载荷随机变量相互独立时, 通过渐近分布理论可知其载荷最大值分布服从极值I型分布[11], 现作分析与证明.
假设参数向量X服从正态分布N(μ, σ2), 它的概率分布函数为
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(11) |
令X的最大值为Zn, 则Zn的分布函数为
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(12) |
式中: 
通过极值I型分布的相关理论可知, Zn的均值和方差分别为
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(13) |
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(14) |
式中: 
通过上述公式就可以推导出等效载荷的分布函数, 计算式(13)和式(14)就可求出其均值和方差, 计算式(15)就可以求出其可靠度:
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(15) |
其中, max s(ti)为0-t时段的最大等效载荷.
2.2 材料强度随时间的变化零件的材料强度会随着工作时间的延长而逐渐降低, 是随着时间不断变化的, 所以在计算零件可靠度时应该把强度退化的影响考虑进来.Gamma退化过程是一个服从某一具体参数并且具有非负独立增量的随机过程[12-13], 非常适用于描述一系列随时间累积的且逐渐单调裂化的过程, 如零件的腐蚀、疲劳及裂纹的增长和扩展等.在实际工作中由于受众多外界因素的影响, 致使零件的强度退化是随机的, 并且是单向递减的.因此本文采用Gamma过程来描述零件的强度裂化过程.
Gamma过程定义如下:假设X服从Gamma分布, 其密度函数可表示为
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(16) |
式中: 
1) X(0)=0;
2) ∀τ>t≥0, X(τ)－X(t)~Ga(v(τ)－ v(t), u);
3) X(t)具有独立的增量.
现用X(t)表示机械零件强度在t时刻的退化量, 根据Gamma过程的定义可知, 此时X(t)的均值和方差可表示为
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(17) |
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(18) |
由文献[14]可知, t时刻的均值通常与时间的幂律成正比, 即强度的均值公式可以由式(19)代替:
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(19) |
式中, a, b和c均是大于零的实数, 且b≠1, 在实际计算中, 可以采用最大似然法[14]来计算参数c, b和u.
2.3 动态可靠性模型的建立假定某零件的强度服从Gamma过程, 初始强度为r0, 强度退化量为δ(t), 则t时刻零件的剩余强度r(t)可以用r0和δ(t)所构成的函数来表示, 即r(t)=r0－δ(t).零件所受的应力随机过程为σ(Y, t), Y为与应力作用相关的参数向量, 且σ(Y, t), r0与δ(t)之间相互独立, 基本参数向量X=(r0, Y)T, 由式(1)可知, 零件在t时刻的功能函数为
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(20) |
动态可靠度指标为
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(21) |
而此时的结构可靠度为
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(22) |
本文所建立的动态应力-强度干涉模型将载荷和强度同时考虑成随机过程, 使之更接近于工程实际.
3 可靠性灵敏度分析运用四阶矩法求解机械零件各参数灵敏度问题是一种比较实用有效的方法, 可先利用式(7)得到零件的二阶矩可靠度指标βSM, 再利用式(8)求出其四阶矩可靠度指标βFM, 在此基础上对参数X进行灵敏度计算, 灵敏度公式为
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(23) |
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(24) |
式中:
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(25) |
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(26) |
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(27) |
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(28) |
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(29) |
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(30) |
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(31) |
把以上结果代入式(22)和式(23)就能得出各参数的均值灵敏度和方差灵敏度.
4 设计实例为了验证本文所述方法是否正确, 以机械零件螺栓为例.某型号圆形螺栓结构如图 1所示, 通过最大似然法求得螺栓的Gamma强度退化过程的三个参数分别为u=5, b=0.5, c=0.4.螺栓其他的相关参数见表 1.
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图 1 螺栓示意图 Fig.1 Screw bolt schemative diagram |
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表 1 螺栓的相关参数 Table 1 Relative parameters of bolts |
圆形螺栓在正常使用时所受的应力为
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(32) |
因此螺栓的状态函数的表达式可表示为
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(33) |
式中:r(t)为t时刻的螺栓强度值; s(Y, t)为t时刻螺栓所受的等效载荷值; 基本随机向量X=(r0, Y)T; r0为螺栓的初始强度值；Y=(p(t), d)T; p(t)为t时刻螺栓所受的剪切载荷.
在初始时刻t=0时, 该模型相当于静态可靠性模型, 应用本文的模型计算所得到的可靠度指标为β=3.515, 可靠度为R=0.999 78.从计算结果可以看出, 本文计算所得的初始时刻的数值结果与静态可靠性模型所计算的结果相同, 因此本文提出的计算可靠度的动态模型在数学理论上讲是正确的.随着工作时间的增加, 强度开始发生退化, 在设计工作期内求得螺栓的动态可靠度曲线如图 2所示.
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图 2 螺栓可靠度变化曲线 Fig.2 Reliability variation curve of bolt |
由图 2可知螺栓的可靠度随着使用时间的增长而逐渐降低，两种方法得出的曲线变化趋势一致且吻合度较高, 符合实际情况, 证明了该模型的合理性.
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图 3 螺栓均值灵敏度变化曲线 Fig.3 Average sensitivity variation curve of bolt |
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图 4 螺栓方差灵敏度变化曲线 Fig.4 Variance sensitivity variation curve of bolt |
从图中可以得知, 无论是均值灵敏度曲线还是方差灵敏度曲线, 其绝对值都随时间逐渐增大; 螺栓截面直径的灵敏度增长速度最快, 且直径均值对螺栓可靠度的影响是正向的, 这说明截面直径的均值越大, 螺栓可靠度越大, 螺栓就越可靠; 但从方差灵敏度图像中可以看出, 直径方差对螺栓可靠度呈现出负影响趋势, 且这种趋势随着时间越来越大; 另外剪切载荷的方差灵敏度曲线随着使用时间的增长也有微小的下降, 但不是特别明显.同样图中虚线也为Monte Carlo方法计算出来的结果, 可以看出, 无论是均值灵敏度还是方差灵敏度曲线, 两种方法的结果基本一致.
图 5为Gamma参数的灵敏度变化曲线.从图 5中能够看出螺栓可靠度对Gamma参数的灵敏度曲线的变化趋势, 初始时刻灵敏度都比较小, 随着使用时间的延长, 参数b和c的灵敏度增长迅速.另外u和c对螺栓可靠度的影响是负向的, b对可靠度的影响是正向的, 也就是说, 参数b的值增大, 螺栓的可靠度就增大, 反之, 参数u和c的值增大, 螺栓的可靠度就会减小.
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图 5 Gamma参数的灵敏度变化曲线 Fig.5 Sensitivity variation curve of Gamma parameters |
1) 本文讨论了随机载荷的反复多次作用和Gamma强度退化过程, 并从机械零件的实际工况出发, 以应力-强度干涉理论为基础, 对机械零件进行可靠性建模, 分析了可靠度的动态变化规律.
2) 在此基础上, 给出了用四阶矩理论求解灵敏度的计算公式, 在随机变量的概率密度未知的情况下, 可以更加方便地求出其灵敏度, 同时也避免了使用Edgeworth级数法可能会发生可靠度大于1的情形, 使计算结果更加准确.
3) 以零件螺栓为例, 建立了螺栓动态可靠性模型, 给出了螺栓可靠度、螺栓变量参数的灵敏度及Gamma过程参数的灵敏度随时间变化的动态曲线, 并用Monte Carlo方法验证了该模型的合理性和正确性.
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