涡旋式压缩机是20世纪70年代发展起来的一种高效、安静、可靠的容积式压缩机, 是最具发展潜力的压缩机之一.早期的涡旋盘以等壁厚为主, 其型线以圆渐开线为主, 线段、正四边形等渐开线也可构成等壁厚涡旋盘^[1-5].

随着加工技术的进步以及对高性能、高效率、小体积的更高需求, 涡旋盘逐渐采用变壁厚设计.Tojo等^[6-7]首先提出了以变基圆渐开线作为涡旋型线; Lee等^[8]证明了平面啮合理论可以用于涡旋盘的设计; 王君等^[9-10]论证了变基圆渐开线作为涡旋型线的可行性, 给出了在外型线没有起始角时的变基圆涡旋型线的形式, 并对圆渐开线型线进行双圆弧修正, 推导出双圆弧修正型线方程.李雪琴等^[11]给出了外型线具有起始角时的外型线方程, 而对于具有起始角的内型线方程没有明确给出.

本文基于变基圆型线展开角是否在x轴起始, 对具有起始角的内、外型线进行研究, 给出了内、外型线的方程表达式, 推导了偏心距的求解方程, 分析了两种情况下型线方程之间的关系; 并对两种变基圆型线方程进行双圆弧齿头修正, 给出了修正型线方程.

1 构成涡旋型线的条件 1.1 平面曲线啮合原理

为了分析方便, 将涡旋盘简化成平面曲线可以更好地了解涡旋机械运动.首先, 引入两个平面坐标系Π_f和Π_m, 两个坐标系的坐标轴相互成180°, 如图 1所示.坐标系Π_m绕Π_f的原点以距离r_ob做公转平动, 那么平面Π_m的坐标原点在Π_f坐标系中可以表示为

(1)

式中, θ为平面Π_m绕Π_f的旋转角度.

平面中任意连续、光滑的曲线均可以用曲率中心(x_c, y_c)、曲率半径ρ和极角ϕ表示.那么, 在平面Π_m中的一条连续、光滑曲线可以表示为

(2)

当平面Π_m逆时针绕平面Π_f的原点以距离r_ob做公转平动时, 光滑曲线会在平面Π_f上形成这个曲线的线簇, 进而形成内、外两条共轭曲线, 如图 1所示, 内、外共轭曲线可表示为

(3)

其中, ρ(ϕ_m)-r_ob≥0;i=ou, in; ±取正为ou, 取负为in.

当两个涡旋盘啮合时, 啮合点一定在这内、外两条共轭曲线上, 内共轭线称为内型线, 外共轭线称为外型线, 又ϕ_f=ϕ_m±π, 则内、外型线的方程形式为

(4)

因此, 涡旋盘内、外型线可以由曲率中心(x_c, y_c)、曲率半径ρ、偏心距r_ob和自变量ϕ_f表示.

1.2 变基圆渐开线

相比圆渐开线, 变基圆渐开线的基圆半径是不断变化的, 如图 2所示.变基圆半径为a=a₀+δ₀·ϕ, 其中a₀为初始半径长度, δ₀为半径变换率, ϕ为展开角.由渐开线性质可知, 展开线增量dρ等于变基圆弧长的增量dl, 即dρ=dl, 则有

(5)

根据基圆半径a、展开线ρ和展开角ϕ, 可以得出变基圆渐开线方程为

(6)

方程(6)表示的是变基圆渐开线起始角为0°的情况下变基圆渐开线的方程形式, 并且展开角是从x轴开始的.在实际设计变基圆型线时, 往往渐开线都具有一定的起始角, 并且展开角ϕ不在x轴起始.

2 变基圆涡旋型线 2.1 展开角在x轴起始

令涡旋型线为变基圆渐开线, 内、外型线起始角分别为α_in和α_ou, 建立平面Π_f和Π_m分别为两个涡旋盘的坐标系, 令外型线的展开角在x轴起始, 则内型线起始角为α_in+α_ou, 如图 3所示.

在坐标系Π_f中, 外型线的起始角为0°, 基圆半径起始长度为a₀, 基圆半径变化率为δ₀, 展开角为ϕ, 则有

(7)

(8)

根据变基圆渐开线方程形式, 可以得出平面Π_f中涡旋盘外型线方程为

(9)

根据平面曲线啮合理论, 一对共轭曲线具有相同的基圆半径, 可知平面Π_m中内型线展开角ϕ′=ϕ-(α_in+α_ou)+π, 则基圆半径和展开线方程为

(10)

(11)

根据方程(10)，(11)可以得到坐标系Π_f中的内型线方程为

(12)

根据平面啮合理论, 在点C₀处有

(13)

式(13)中θ表示平面Π_m绕平面Π_f平动的公转角度, 并且θ=θ(ϕ), 根据文献[12]可知式(13)的Jacobian行列式为0, 得出θ与ϕ的关系:

(14)

由方程(14)可得θ=ϕ+π/2, 则根据方程(9)，(12)，(13)可以得出偏心距为

(15)

2.2 展开角不在x轴起始

图 4为内外起始角为α_in，α_ou的变基圆渐开线型线.平面Π_f中外型线展开角ϕ在-α_ou处起始, 即ϕ∈[-α_ou, ϕ], 则有

(16)

(17)

那么在平面Π_f中, 外型线方程为

(18)

令平面Π_m中的内型线展开角为ϕ′≥0, 则有ϕ′=ϕ+π-α_in, 同理有

(19)

(20)

根据方程(19)，(20)可以得到坐标系Π_f中的内型线方程为

(21)

根据平面啮合理论, 在点C₀处有

(22)

则方程(22)的Jacobian行列式为0, 即

(23)

由方程(23)可得θ=ϕ+π/2, 可得偏心距为

(24)

由2.1和2.2节可知无论展开角在何处起始, 涡旋盘偏心距r_ob只与基圆初始半径a₀，基圆变化率δ₀，内、外型线起始角α_in, α_ou有关.当涡旋盘的初始基圆半径a₀、基圆变化率δ₀、内外起始角α_in, α_ou一定时, 上述两种方程形式的涡旋型线如图 5所示.将图 5中展开角不在x轴起始的型线方程绕坐标系原点逆时针旋转α_ou角度, 发现与展开角在x轴起始的型线方程重合.可知方程(9)，(12)与(18)，(21)的表达形式虽然不同, 但所表达的变基圆涡旋型线相同.因此给定基圆初始半径、基圆半径变化率和内、外渐开线起始角, 就可以唯一确定一组变基圆涡旋型线.

3 变基圆涡旋型线的齿头修正 3.1 展开角在x轴起始的双圆弧修正

对于初始基圆半径为a₀, 基圆半径变化率为δ₀, 内、外起始角为α_in, α_ou的变基圆涡旋型线的双圆弧修正步骤为:以基圆半径中心为坐标原点O, 令修正展角为β, 在内、外型线上分别取中线展角为β+π, β的两点C_in, C_ou, 过点C_in, C_ou分别作内、外型线的法线, 过原点O做两条法线的垂线, 交点为A, B两点; 以O为圆心做直径为r_ob的特征圆, 线段C_inC_ou交特征圆于D, H两点, 连接OD并双向延长, 分别交法线AC_ou, BC_in于E, F两点; 最后分别以点E, F为圆心, 以EC_ou, FC_in为半径作小圆弧大圆弧即为修正圆弧, 如图 6所示.

由文献[9]可知, 在双圆弧修正型线中点A, B关于原点O对称, AC_ou//BC_in, 且BC_in与AC_ou之差为r_ob.因此可以得到关系式:

(25)

(26)

(27)

联立方程(25)，(26)，(27)可得

(28)

(29)

(30)

又根据方程(7)，(8)可知当修正展角为β时, a_ou, ρ_ou为

(31)

(32)

继而可得修正角γ为

(33)

则双圆弧修正方程为

(34)

(35)

双圆弧修正型线的存在需要满足条件:①R_ou>0, 即保证外型线与修正圆弧光滑连接; ②β>α_ou, 即保证外圆弧与外型线有交点.

3.2 展开角不在x轴起始的双圆弧修正

当展开角不在x轴起始时, 同样给定初始基圆半径为a₀, 基圆半径变化率为δ₀, 内、外起始角为α_in, α_ou的变基圆涡旋型线, 双圆弧修正型线如图 7所示.令β为修正展角, 则有ϕ_β=β-α_ou, 修正角ϕ_γ=β-α_ou-arctan(d/a_ou), 对应的基圆半径和展开线为

(36)

(37)

由图 7可知R_ou, R_in和d的关系式同样如方程(25)，(26)和(27)所示, 则修正角为

(38)

因此, 展开角不在x轴起始的双圆弧修正方程为

(39)

(40)

对于不同修正展角, 涡旋齿头变化如图 8所示.在图 8中修正展角由π/4逐渐增大到13π/12, 涡旋齿头的壁厚逐渐增厚, 长度逐渐减小.当修正展角较小时, 压缩气体到排气口需要动涡盘公转平动更大的角度, 能够获得更高的压缩比.

4 结论

1) 针对变基圆涡旋型线展开角是否在x轴起始的两种情况, 推导出具有起始角的外型线方程.根据平面曲线啮合原理推导出具有起始角的内型线方程, 在此基础上得到两种形式的涡旋型线方程.

2) 对比两种形式的涡旋型线方程, 在基圆初始半径、基圆半径变化率和内、外型线起始角一定时, 有相同的变基圆涡旋型线, 可依据设计加工需求选择适合的型线方程形式.涡旋盘的偏心距由基圆初始半径、基圆半径变化率和内、外型线起始角确定, 给出偏心距的求解方程.

3) 采用双圆弧修正法对两种形式的变基圆型线方程进行齿头修正, 给出了双圆弧齿头修正方程.当修正展角增大时, 涡旋齿头的壁厚增加、长度减小, 适当选取较小的修正展角, 可以获得更大的压缩行程, 提高压缩比.