2020, Vol. 41
在实际工程问题中, 机械结构存在诸多不确定因素, 如材料特性、载荷环境、结构尺寸等, 其中不确定性因素的较小波动都可能导致结构性能的较大偏差.因此, 在工程中需要将不确定性因素加入到机械结构设计中, 同时降低潜在临界条件下的功能失效概率, 使设计结果达到可靠性需求.
近年来, 学者们对于结构优化逐渐转向基于区间的可靠性设计.Elishakoff等[1-3]将区间参数对结构最坏响应的识别问题表述为反优化问题, 导致两级优化问题.Hu等[4]对约束的变动量提出了一个新的可靠性指标, 并将区间鲁棒性优化问题转化为确定性优化问题进行求解.Wu等[5-6]利用Chebyshev代理模型近似泰勒包含函数的高阶系数解决区间算法的扩展问题.目前求解非线性区间优化模型的方法大多采用间接方法对模型进行转换, 在转换过程中需要引入多种参数, 当这些参数取值不同时, 往往会产生不同的解.为此建立一种新的直接求解非线性约束区间优化模型, 由于遗传算法(GA)在基于自然遗传的复杂空间中提供了鲁棒、高效和有效的搜索能力, 并且除了每个解的适应度函数外不需要搜索空间的任何信息, 故选择GA作为计算内层优化中目标函数和约束函数区间界限的算法, 实现外层优化中各设计向量的直接排序[7-8].考虑到设计向量的扰动性, 基于原有框架, 在外层生成的设计向量种群增加偏量转化为区间, 在遗传算法内层再嵌套一层原有的结构, 计算扰动下的约束函数.提出嵌套遗传算法并结合径向基函数(RBF)神经网络的高效优化算法[9-10], 采用RBF神经网络对目标函数和约束函数进行预测, 对区间直接排序, 求解基于区间可靠性的设计优化模型.
在实际工程设计中, 由于生产制造存在误差以及环境等因素, 设计向量在不确定的影响下具有扰动而不能达到所要求的设计值, 所以还要保证结构或者系统在扰动下的可靠性.为了提高机械结构稳健优化的工程适用性, 提出了在原有的基础上考虑设计量存在扰动的情况, 增加一个约束, 避免扰动使目标值的波动过大, 同时依然满足其他约束条件.所建立的直接求解非线性约束区间优化模型充分考虑了具有扰动的设计向量, 保证了结构或系统在扰动下的可靠性, 与采用鲁棒性的序列二次规划方法的区间优化[11]进行比较, 结果更优, 效果更好.
1 不确定结构的可靠性优化设计 1.1 优化模型在实际工程结构设计过程中, 影响结构力学性能的不确定因素常存在于结构参数中, 将这些参数描述为区间变量.把所需要的结构力学性能描述为目标函数和约束函数, 它们是设计变量和区间变量的非线性函数.引入区间可靠度R, 描述一个区间大于另一个区间的具体程度.常规的基于区间可靠性的结构设计优化模型可描述为
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(1) |
式中：x为结构的n维设计向量；U为m维区间不确定向量；上标“L”和“R”分别表示区间的左界和右界；f(x, U)和gi(x, U)是表征结构力学性能指标的目标函数和约束函数, 其取值取决于设计向量x和区间向量U；Bi是给定的第i个约束的区间常数, 也可以是一个确定性值；Ri是第i个区间可靠性约束；ηi是第i个约束规定的可靠性要求；p为约束个数.
优化模型得到的设计向量为确定值, 但在实际过程中, 由于生产制造存在误差及环境等因素, 结构并不能达到所要求的值, 此时目标值会产生较大波动, 并且可能存在不满足约束的情况.为了提高机械结构稳健优化的工程适用性, 提出了新的结构设计优化模型, 充分考虑了设计向量存在扰动的情况, 从而得到满足实际应用的优化结果.
将目标函数的波动转化为一个新的约束：
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(2) |
式中：X为具有波动的n维设计向量；x为不考虑波动时的n维设计向量；f(x, U)为目标函数的平均性能；[ΔfL, ΔfR]表示目标函数相对于平均性能最大的变化区间, 控制目标函数在不确定性影响下的变动量, 保证其对不确定性不敏感, 进而实现结构或者系统设计的可靠性.新的优化模型为
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(3) |
式中：fc(x)和fw(x)分别为目标性能值的中点和半径；Rp+1为目标函数波动量需要满足的可靠性要求；Rl+p+1为原第l个约束在设计向量存在波动时的可靠度；ηl+p+1为原第l个约束在设计向量存在波动时需要满足的可靠性要求.
1.2 区间可靠性计算考虑两个区间的所有可能位置关系, 可以归为6种, Qi等[12]将6种不同位置关系的区间可靠度描述为
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(4) |
若区间B退化为实数b, 则区间可靠度为[13]
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(5) |
如果区间A退化为实数a, 则区间可靠度为
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(6) |
在基于不确定因素的区间结构可靠性设计中, 需要对遗传算法内种群的设计向量进行优劣排序, 其评判标准为
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(7) |
对于第i个可靠性约束, 可靠度Ri大于可靠性要求ηi时, yi小于0, 此时x是当前可靠性约束的可行解.当所有可靠性约束都满足可靠性要求时, Y为0, 此时x满足所有可靠性约束, 是可行解；否则Y大于0, x为不可行解.故对种群所有设计向量的优劣排序规则为
1) 可行解优于不可行解；
2) 对于不可行解, Y值越小越优；
3) 对于可行解, 根据目标函数进行排序, 当fc(xi) < fc(xj)或者fc(xi)=fc(xj)且fw(xi) < fw(xj)时, xi优于xj, 否则xj优于xi.
2 区间可靠性设计模型的直接求解结合嵌套的遗传算法和RBF神经网络, 提出基于区间的机械结构可靠性设计模型的直接求解方法.在遗传算法内层, 利用构建的RBF神经网络预测每个设计向量相对应的约束函数和目标函数的左右界.在遗传算法外层, 根据设计向量的优劣排序规则进行排序, 求出最优设计向量.基于区间的机械结构可靠性设计模型直接求解流程图如图 1所示, 具体步骤如下：
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图 1 区间可靠性设计模型的求解流程图 Fig.1 Solution flowchart of interval reliability design model |
步骤1 建立基于不确定因素的结构可靠性设计模型, 确定设计变量、不确定因素和设计变量扰动值的取值范围.由约束函数的可靠性要求, 确定区间可靠度R.
步骤2 以设计向量和不确定向量作为输入, 目标函数和约束函数作为输出, 建立3层自组织选取中心的RBF神经网络.共1000个样本, 900作为训练样本, 100作为测试样本对神经网络进行训练.
步骤3 初始化嵌套遗传算法的运行参数包括种群大小, 最大进化代数Iter0max, Iter1max, Iter2max, 交叉和变异概率, 收敛条件等.生成初始化种群, 外层的初始化种群为设计向量.
步骤4 如果最外层进化代数Iter0 < Iter0max返回步骤5；否则返回步骤8.
步骤5 对当前代种群中的每个个体, 再嵌套遗传算法的中间层, 主要分为两部分：①生成不确定向量的种群pop10, 利用RBF神经网络模型预测出在不考虑设计向量存在扰动时的目标函数和约束函数值, 对种群pop10进行排序, 不断迭代更新, 直到达到最大进化代数Iter1max或满足收敛条件, 求出当前最外层种群pop0每个个体目标函数和约束函数的左右边界.②考虑了设计向量的扰动, 将设计变量的扰动值加入到当前最外层种群中的每个个体中, 在X∈[xj-Δxl, xj+Δxl]区间内生成第二部分的设计向量的种群pop11.为计算扰动情况下目标函数和约束函数区间值的左右界, 在中间层再嵌套遗传算法, 生成不确定向量的种群pop2.利用RBF神经网络模型预测出目标函数和约束函数值, 对种群pop2进行排序, 不断迭代更新, 求出种群pop11每个个体目标函数和约束函数的左右边界.根据左右边界对pop11进行排序, 不断迭代更新, 直到达到最大进化代数Iter2max或满足收敛条件, 得到当前扰动下相应约束函数的最大值和最小值.在遗传算法最外层, 根据区间可靠性计算方法计算出每个约束函数的可靠度Ri[gi(x, U) < Bi], 进而得到设计向量评判标准Y值.
步骤6 对设计向量进行优劣排序, 最外层种群大小为pop0, 则设计向量对应序号为Ranki(i=1, 2, …, pop0), 序号越小设计向量越优.因此, 每个设计向量的适应度值为
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(8) |
步骤7 若达到收敛条件返回步骤8, 否则Iter0=Iter0+1, 执行选择、交叉和变异操作生成新个体作为外层遗传算法的下一代种群, 返回步骤4.
步骤8 输出适应度值最大的设计向量作为结构可靠性设计模型的最优值.
3 算例 3.1 数值算例悬臂梁结构如图 2所示[14], 在悬臂梁上分别作用2个集中载荷F1和F2.
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图 2 悬臂梁结构图 Fig.2 Cantilever beam structure diagram |
目标函数是将悬臂梁造价最低问题转化为体积最小问题, 悬臂梁的强度和刚度作为约束函数, 则悬臂梁的优化模型为
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式中：b1为集中载荷F1与悬臂梁固定端的距离, m；b2为悬臂梁长度, m；h为悬臂梁横截面宽度m；l为悬臂梁横截面长度, m；这4种为设计变量.集中载荷F1和F2(kN), 弹性模量E(N/m2)为不确定因素.τd为许用剪应力, MPa；σd为许用正应力, MPa；[δ]为许用扰度, m；X为设计向量存在扰动时的范围；Δf为设计向量存在扰动相对于无扰动时的目标函数的波动范围.
嵌套遗传算法的运行参数如表 1所示.所有的可靠性要求设为1, 对该优化问题进行求解, 目标函数随迭代次数的变化情况如图 3所示.曲线表示不考虑设计向量存在扰动时, 目标函数的变化情况.另外两条曲线表示设计向量存在扰动时, 在扰动范围内目标函数的最大值和最小值.
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表 1 嵌套遗传算法运行参数 Table 1 Nested genetic algorithm running parameters |
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图 3 目标函数随迭代次数的变化情况 Fig.3 Objective function varying with the number ofiterations |
将求解的设计向量与原设计向量进行对比, 结果如表 2所示.设计向量存在扰动时强度与刚度结果如表 3所示.原设计向量存在扰动时, 最大正应力超过了许用正应力, 不满足可靠性要求.
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表 2 优化结果对比 Table 2 Comparison of optimization results |
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表 3 强度与刚度 Table 3 Strength and stiffness |
令η5=0.98, 其他可靠性要求为0.99, 则设计向量为[0.08, 0.45, 0.119, 0.01].由此可知, 基于区间可靠性设计模型直接求解方法满足工程设计要求, 优化结果更好, 目标函数更小.设计向量存在扰动时, 使设计向量满足约束条件及符合可靠性设计要求.
3.2 行车平板工程算例行车平板在环境温度、载荷、材料参数特异性差异、组件受热不均和行驶过程中不同频率的震动激励等因素的影响下, 平板内部会产生相应的应力应变响应[15].对行车平板的一些关键尺寸进行设计, 满足可靠性要求的同时最小化行车平板的质量.
设计前侧壁厚度为x1=(4 mm, 8 mm)、上下壁厚度为x2=(4 mm, 8 mm)、后壳厚度为x3=(1 mm, 4 mm), 以及内支撑厚度为x4=(0.6 mm, 2.5 mm), 设计扰动量为Δx=(0.1, 0.1, 0.1, 0.1).不确定参数为驱动板电源消耗U1=(5.5 W, 6.5 W)和行车平板壳体的弹性模量U2=(43 000 MPa, 47 000 MPa).约束条件为显示屏的屈服强度B1=(55 MPa, 59 MPa)、汽车平板CPU的准许温度B2=[21.4 ℃, 22.4 ℃]和质量最大变动量不大于区间Δf=[0.085 kg, 0.1 kg].
RBF神经网络的均方误差目标为0.000 1.神经网络迭代过程如图 4所示, 测试样本的误差值如图 5所示.
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图 4 神经网络迭代过程 Fig.4 Neural network iterative process |
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图 5 RBF神经网络误差 Fig.5 RBF neural network error |
可靠性要求设为1, 目标函数随迭代次数的变化情况如图 6所示.将求解的设计向量与采用鲁棒性优化方法求出的设计向量进行对比, 对比情况如表 4所示.由表 4可知, 基于区间可靠性设计模型直接求解方法满足工程设计要求, 优化结果更好, 目标函数更小.设计向量存在扰动时, 使设计向量满足约束条件及符合可靠性设计要求.
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图 6 目标函数随迭代次数的变化情况 Fig.6 Objective function varying with number of iterations |
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表 4 行车平板优化结果对比 Table 4 Comparison of vehicle plate optimization results |
设计向量存在扰动时, 本文方法屈服强度为[53.028 5 MPa, 53.102 0 MPa], 行车平板的CPU温度为[20.691 8 ℃, 21.112 8 ℃].M1为不考虑扰动时的可靠性要求为1, 考虑扰动时的可靠性要求为0.88.M2为不考虑扰动时的可靠性要求为0.99, 考虑扰动时的可靠性要求为0.87.则这两种情况的设计向量具体参数如表 5所示.
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表 5 行车平板设计参数 Table 5 Design vector parameters of driving plate |
1) 针对具有区间参数的不确定结构, 提出了一种结合嵌套遗传算法和RBF神经网络的直接区间优化算法, 充分考虑了设计向量存在扰动引起目标函数和约束函数波动的情况, 建立了基于区间可靠度的优化设计模型.数值算例验证了该算法的有效性及优越性.
2) 将提出的基于直接区间可靠性的设计优化方法应用于行车平板的优化设计中, 与鲁棒性优化方法的优化结果进行比较, 结果表明了本文方法的可行性和有效性.
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