X型准零刚度隔振器的隔振特性分析

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姚国, 于永恒, 张义民, 武志花. X型准零刚度隔振器的隔振特性分析[J]. 东北大学学报:自然科学版, 2020, 41(5): 662-666.

YAO Guo, YU Yong-heng, ZHANG Yi-min, WU Zhi-hua. Vibration Isolation Characteristics Analysis of X-shaped Quasi-Zero Stiffness Vibration Isolator[J]. Journal of Northeastern University Nature Science, 2020, 41(5): 662-666. DOI: 10.12068/j.issn.1005-3026.2020.05.009.

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基金项目

中国博士后科学基金资助项目(2018M631798);中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(N170304018)

作者简介

姚国(1980-)，男，黑龙江双城人，东北大学副教授;
张义民(1958-)，男，吉林长春人，沈阳化工大学教授，长江学者特聘教授。

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收稿日期：2019-09-05

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X型准零刚度隔振器的隔振特性分析

姚国 ¹, 于永恒 ¹, 张义民 ², 武志花 ¹

1. 东北大学机械工程与自动化学院, 辽宁沈阳 110819;
2. 沈阳化工大学装备可靠性研究所, 辽宁沈阳 110142

收稿日期：2019-09-05

基金项目：中国博士后科学基金资助项目(2018M631798);中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(N170304018)。

作者简介：姚国(1980-)，男，黑龙江双城人，东北大学副教授;
张义民(1958-)，男，吉林长春人，沈阳化工大学教授，长江学者特聘教授。

摘要：将一种X型结构应用于准零刚度隔振器以改善其低频隔振性能.根据牛顿运动定律建立了系统的动力学方程.利用增量谐波平衡法对非线性常微分方程进行求解，得到系统的幅频响应曲线.讨论了等同约化刚度γ值对系统传递率的影响.研究结果表明：水平弹簧的无量纲预压缩长度的合理区间为(0，2).在共振区时，γ值的增大可以减小力传递率.在较高频率激励下，γ值的变化对系统隔振性能影响较弱.随着γ值减小，共振区的位移传递率急剧减小.此外，γ值的减小也会引起共振频率减小，并且使得跳跃现象消失.因此，X型准零刚度隔振器的等同约化刚度γ值是一个可以有效反映系统低频隔振效果的理想参数.

关键词：X型结构准零刚度(QZS) 隔振器增量谐波平衡法(IHB) 等同约化刚度传递率

Vibration Isolation Characteristics Analysis of X-shaped Quasi-Zero Stiffness Vibration Isolator

YAO Guo ¹, YU Yong-heng ¹, ZHANG Yi-min ², WU Zhi-hua ¹

1. School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China;
2. Equipment Reliability Institute, Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang 110142, China

Corresponding author: YAO Guo，E-mail: yaoguo@me.neu.edu.cn.

Abstract: An X-shaped structure is applied to quasi-zero stiffness isolator to improve its low frequency isolation performance. The dynamic equation of the system is established by using the Newton's motion law. The amplitude-frequency response curves of the system are obtained by using the incremental harmonic balance method. The effect of equivalent reduced stiffness γ on system transmissibility is discussed. Research results show that the reasonable numerical interval of dimensionless pre-compression length of horizontal spring is (0, 2). In the resonant region, the increase of γ can significantly reduce the force transmissibility. At higher excitation frequencies, the effect of the change of γ on the vibration isolation performance of the system is weak. With the decrease of γ, the displacement transmissibility in the resonance region decreases sharply. In addition, the decrease of γ will also reduce the resonance frequency and make the jump phenomenon disappear. Therefore, the equivalent reduced stiffness γ of the X-shaped quasi-zero stiffness isolator is an ideal parameter which can effectively reflect the effect of low-frequency vibration isolation of the system. The effect of equivalent reduced stiffness γ is discussed in detail.

Key words: X-shaped structure quasi-zero stiffness(QZS) vibration isolator incremental harmonic balance method (IHB) equivalent reduced stiffness transmissibility

在许多工程领域中，非线性隔振通常是一个关键问题.非线性隔振分为主动式和被动式，被动隔振器^[1]由于具有可靠性高、外部能量零输入、结构简单等优点在许多领域得到了广泛应用，如车辆^[2]、航天器^[3]和精密仪器^[4]等.近几年，准零刚度(quasi-zero stiffness，QZS)非线性隔振器以其优异的综合性能吸引了众多学者的关注^[5].典型的非线性QZS隔振器在设计载荷质量m下，在其平衡位置处将正刚度k_v和负刚度k_h单元组合起来.QZS隔振器在静平衡位置具有高静低动的刚度特性，QZS隔振器具有较低的主共振频率和较小的静挠度，从而实现了高承载能力的低频隔振.

QZS隔振器可由多种方式实现，近些年，学者们提出了多种具有QZS特性的隔振系统模型.Cheng等^[5]提出了一种几何非线性阻尼器，并将其应用于QZS隔振器中，以提高其低频隔振性能.Zhou等^[6]提出了一种具有准零刚度特性的扭转隔振器，用于衰减轴系中扭转振动的传递，同时也起到了轴系间的耦合作用.Sun等^[7]提出了一种多方向QZS剪刀形结构，并与已有的QZS隔振器进行了隔振效果对比.

为了提高QZS隔振器的低频隔振性能，本文采用了一种X型结构并将其应用于QZS型隔振器的设计中.首先，应用静力学和泰勒公式得到了弹簧的刚度特性曲线，得出了准零刚度产生的条件.其次，通过对X型结构的受力分析建立了系统的动力学方程，利用增量谐波平衡法(incremental harmonic balance method，IHBM)对非线性常微分方程进行半解析求解，并通过Runge-Kutta法对比验证了解的一致性.最后，对系统的幅频响应、力传递率及位移传递率特性进行了分析及参数讨论.结果表明：本系统具有良好的隔振性能，可为结构振动的被动控制提供一种新的解决方案.

1 QZS系统及建模

如图 1所示，QZS隔振器主要由两个竖直弹簧和两个X型结构的调节器组成.X型结构的调节器由支架、连杆、铰链轴和水平弹簧组成.所有连杆的长度均为L，水平弹簧的两端与铰链轴连接，竖直弹簧两端经支架与加载支架和基座连接，在垂直导杆的作用下，加载支架只能沿垂直方向移动.水平弹簧的弹性系数为K_h，竖直弹簧的弹性系数为K_v/2，线性阻尼器的阻尼系数为C.加载支架上放置质量为m的质量块.

图 1 QZS系统的任意时刻模型图 Fig.1 Model diagram of QZS system at any time

在质量块重力作用下，整个系统处于静平衡状态，所有连杆重叠并且是处于水平状态，质量块的位移为

(1)

为了提供负刚度，两个刚度系数都为K_h的水平弹簧预先压缩的长度为d，水平弹簧的弹性恢复力经连杆和支架传递到加载支架上，与竖直弹簧所产生的弹性恢复力方向相反.因此隔振器处于静平衡状态时，当负刚度与正刚度相等时，系统实现了准零刚度特性.

首先分析弹性恢复力，当上支架受到外力f作用时，加载支架会偏离静平衡位置并产生位移x，此时，QZS系统的结构模型如图 1所示.

如图 2所示，所施加的力与位移的关系为

(2)

图 2 单侧结构的受力分析图 Fig.2 Force analysis diagram of unilateral structures

其中：f_v=K_v(x-Δx)表示竖直弹簧的系统弹性恢复力; f_t=2f_htanα表示水平弹簧的系统弹性恢复力; α表示连杆与水平面之间的夹角，并且.施加外激励可以表示为

(3)

对式(3)无量纲化处理，得到

(4)

其中:h=f/(K_vL); u=x/L；β=K_h/K_v; δ=d/L.

QZS系统的无量纲刚度为式(4)对u的微分

(5)

令k(u=0)=0，则准零刚度产生的条件为

(6)

将式(6)代入式(4)得到

(7)

(8)

对于不同无量纲预压缩长度δ_qzs，随着加载支架位移的变化，无量纲刚度曲线见图 3.

图 3 QZS系统对于不同δ_qzs的无量纲刚度 Fig.3 Dimensionless stiffness of QZS system for different δ_qzs

从图 3可以观察到，当δ_qzs < 2，QZS系统的刚度都为正刚度，并且随着δ_qzs的增大，刚度曲线趋于平缓.当δ_qzs=2时，QZS系统的刚度恒为零，这表明隔振系统失去承载能力.如果δ_qzs>2，刚度为负值，在实际工程中是不允许发生的.因此，δ_qzs的合理区间是(0, 2).

将式(4)在u=0处展开为四阶泰勒级数，即

(9)

将准零刚度条件即式(6)代入到式(9)中，得到h_qzs(u)=γu³，其中定义γ为等同约化刚度，其值可以通过改变水平弹簧与竖直弹簧的刚度比来进行调节，γ的具体表达式为

(10)

原始刚度表达式(7)和其泰勒展开式(9)的对比如图 4所示.可以观察到泰勒展开式结果与原始表达式结果吻合良好，因此，本文采用四阶泰勒级数展开是合理的.

图 4 h精确值与近似值对比图 Fig.4 Comparison of exact and approximate values of h

典型QZS隔振器和本文设计的X型隔振器都具有准零刚度特性，图 5为这两种隔振器的无量纲刚度对比情况，图中两条曲线都是在水平弹簧与竖直弹簧的刚度系数之比为1的情况下计算得到的.可以看出本文设计的X型QZS隔振器相比于典型QZS隔振器具有更小的无量纲刚度k，特别是当u在区间(-1, -0.5)和(0.5, 1)时，两者的k值差异更为明显.较小的系统刚度意味着系统的共振频率较低^[1]，因此本文设计的X型隔振器可以有效地提高其低频隔振性能.

图 5 典型QZS隔振器与X型QZS隔振器的无量纲刚度k对比图 Fig.5 Comparison of dimensionless stiffness k between a typical QZS isolator and an X-shaped QZS isolator

2 力传递率 2.1 幅频响应

简谐力作用下系统的运动方程为

(11)

其中，F_e和ω分别表示外部激励的幅值和频率，引入无量纲参数，并将已知表达式代入式(11)得到

(12)

式中：;

增量谐波平衡法(IHB)具有移植性强、改变参数灵活的许多优点，下面将应用IHB法求解系统的动力学方程.

首先，对方程(12)进行时间尺度变换，即令t^*=Ωτ，式(12)关于新的时间变量t^*的微分方程为

(13)

其次为Newton-Raphson增量步骤，设u₀和Ω₀是方程(12)的解，则其相邻位置的解可以用增量表示为

(14)

将式(14)代入式(13)并省略去高阶小量，整理增量方程为

(15)

式中，Re表示不平衡力，

(16)

当Re=0时，求得u₀和Ω₀的精确解.

最后为谐波平衡过程，设方程(13)的周期解u为

(17)

式中, U=[1, cost^*, …, cosit^*, sint^*, …, sinit^*];

(18)

(19)

(20)

将式(17)~式(20)代入式(15)，并对式(15)在一个周期2π内进行Galerkin积分：

(21)

由式(21)可以得到以ΔA和ΔΩ为未知量的线性迭代方程为

(22)

式中：

为了验证增量谐波平衡法的有效性，进行了基于Runge-Kutta的数值模拟，两种方法得到的结果如图 6所示.可以看出，解析解与数值解吻合较好，这表明IHB法对于本文所研究的问题是有效且可靠的.需要注意的是，Runge-Kutta法无法得到不稳定解.此外，本文在求解系统的幅频曲线时还进一步结合了弧长法^[8]，由此可以获得复杂完整的响应曲线，从幅频曲线中还可以观察到系统鞍点分岔引起的跳跃现象^[9].

图 6 幅频曲线(δ_qzs=1.4，ζ=0.025，f_e=0.01) Fig.6 Amplitude-frequency curve(δ_qzs=1.4, ζ=0.025, f_e=0.01)

2.2 力传递率

力的传递率^[10]是评估隔振器好坏的一个重要指标.本系统的传递力表达式为

(23)

传递力的幅值可通过IHB求得的解(即u)代入式(23)求出

(24)

因此，本系统的力传递率可写成为

(25)

对于不同γ值，系统的力传递率如图 7所示.从图中可以观察到，在主共振区时，等同约化刚度γ值的增大可以有效地减小力传递率，而在较高的激励频率下，等同约化刚度γ值的变化对系统隔振性能的影响不大.

图 7 不同γ值对应的力传递率(ζ=0.025，f_e=0.01) Fig.7 Force transmissibility corresponding to different γ (ζ=0.025, f_e=0.01)

3 位移传递率 3.1 幅频响应

在分析系统的位移传递率时，应去掉加载支架的外激励，这时应施加位移激励z=Z_ecos(ωt)并且加载到基座上，见图 1，加载支架的位移是x，加载支架的相对运动方程为

(26)

其中:y=x-z; Z_e表示基座激励的幅值.

对式(26)进行无量纲化，并且采用前述的无量纲参数，得到

(27)

其中：η=y/L; z_e=Z_e/L.

应用与2.1小节相同的分析过程，得到加载支架的幅频曲线，如图 8所示，所采用的参数为γ=0.065，ζ=0.022 5，z_e=0.2.从图中可以看出，由于非线性刚度的存在，使得曲线有向右弯的现象，这也说明本系统具有硬式非线性特性.

图 8 不同γ值对应的位移传递率及γ=0.065时的幅频曲线(ζ=0.022 5，z_e=0.2) Fig.8 Fig. 8 Displacement transmissibility corresponding to different γ(ζ=0.022 5, z_e=0.2)

3.2 位移传递率

位移传递率的定义为传递到加载支架的位移与基座位移幅值的比率，即

(28)

对于不同的γ值，本系统的位移传递率T_d如图 8所示.从图中可以观察到：随着等同约化刚度γ值减小，在共振区，系统的位移传递率急剧减小，而在较高的激励频率下位移传递率不受影响.此外，等同约化刚度γ值的减小可以引起共振频率的减小，并且使得跳跃现象(不稳定解)消失.

4 结论

1) 通过对系统的整体刚度分析，得出了准零刚度产生的条件，即无量纲预压缩长度与无量纲刚度比的乘积为1.结果表明：无量纲预压缩长度δ_qzs的合理区间为(0，2)，并定义了一个可以有效反映系统低频隔振效果的重要参数，即等同约化刚度γ.与典型QZS隔振器相比，本文设计的X型QZS隔振器具有更好的低频隔振性能.

2) 讨论了不同γ值对力传递率的影响，等同约化刚度γ值的增大可以显著地减小力传递率，而在较高的激励频率下，等同约化刚度γ值的变化对系统隔振性能的影响较弱.

3) 讨论了不同γ值对位移传递率的影响.随着等同约化刚度γ值的减小，共振区的位移传递率急剧减小，而在较高的激励频率下的位移传递率不受其影响.此外，等同约化刚度γ值的减小可以引起共振频率的减小，并且使得跳跃现象(不稳定解)消失.

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