设E₁³是三维Minkowski空间，其中的内积定义为

设E₁³中的非零向量v，若〈v, v〉>0，则称v为类空向量；若〈v, v〉=0，则称v为类光向量；若〈v, v〉 < 0，则称v为类时向量.特别地，规定零向量为类空向量^[1-6].

设r(t)是E₁³中任意1条正则曲线.当曲线r(t)的切向量为类空向量(类时向量、类光向量)时，称r(t)为类空曲线(类时曲线、类光曲线).特别地，若类空曲线r(t)的主法向量为类空向量(类时向量、类光向量)，则称其为第一类类空曲线(第二类类空曲线、伪零曲线)^[7-9].

2011年, Liu等^[10]定义了锥曲线的结构函数；2015年, Qian等^[11]给出了类光曲线的结构函数.本文用类似的方法描述E₁³中的伪零曲线.

1 预备知识

定义1^[12-13]   设r(t)是E₁³中的类空曲线，其Frenet标架为{α，β，γ}，如果它的主法向量β与副法向量γ是线性无关的类光向量，则称r(t)为伪零曲线.

引理1^[14-15]   设r(s):I→E₁³是以弧长s为参数的伪零曲线，即‖r′(s)‖=1, 则其Frenet标架{r′(s)=α(s)，β(s)，γ(s)}满足

(1)

其中: α(s)，β(s)，γ(s)分别为r(s)的切向量、主法向量和副法向量；κ(s)称为曲线r(s)的曲率函数.

本文所讨论的曲线为非直线.

2 主要结论 2.1 伪零曲线的结构函数

首先，设伪零曲线r(s)的单位切向量为

因为r′(s)是单位类空向量，故满足

由ξ₃²-ξ₁²=1-ξ₂²，得

这里f=f(s)，g=g(s)为光滑函数.显然

(2)

于是，伪零曲线r(s)可以表示为

因为〈r″(s)，r″(s)〉=0，通过计算, 可得

(3)

解微分方程(3)可得

因为本文所讨论的曲线为非直线，故f ′≠0, g′≠0.

定理1  设r(s)是E₁³中以s为弧长参数的伪零曲线，则用函数f(s)，g(s)可将曲线r(s)表示为

并且函数f=f(s)，g=g(s)满足

定义2  定理1中的函数f(s)和g(s)称为伪零曲线r(s)的结构函数.

定理2  设r(s)是E₁³中以s为弧长参数的伪零曲线，其结构函数为f(s)，g(s)，则其曲率函数κ(s)可用结构函数表示为

(4)

它的Frenet标架可表示为

这里，c_i(i=1，2，3)∈R.

证明  由引理1及式(2)易得α，β的表达形式.且有

由r'''=α″=κr″，可得，进一步由γ′=-α-κγ，通过解微分方程可得向量γ的表达形式.

2.2 常曲率伪零曲线

定理3  设r(s)是E₁³中以s为弧长参数的伪零曲线，如果r(s)的曲率函数κ(s)为常数，则它的结构函数f(s)，g(s)为

1) 当κ=c=0时，其结构函数

这里a∈R-{0}；

2) 当κ=c≠0时, 其结构函数

证明  设曲率函数κ(s)为常数，即κ=c，(c∈R).由式(4)得

1) 当κ(s)=c=0时，有

不失一般性，通过参数变换可以省略积分常数c₁，则g(s)=as.由式(3)可得

(5)

解微分方程(5)得

通过适当变换, 可令c₂=1, 于是得

2) 当κ(s)=c≠0时，与1)的推导类似，有

由定理1和定理3, 显然有下面的结论.

定理4  设r(s)是E₁³中的常曲率伪零曲线，则r(s)可表示为

1) 当κ=c=0时，

这里a∈R-{0}；

2) 当κ=c≠0时,

例1   设定理3中曲率κ(s)=0的伪零曲线的结构函数，则曲线r₁(s)=(s²，s²，-s)，如图 1所示.

例2   设定理3中曲率κ(s)=c≠0的伪零曲线的结构函数，则曲线r₂(s)=(e^s，e^s，-s)，如图 2所示.

3 结语

本文定义了伪零曲线的结构函数, 并用结构函数表示了伪零曲线及其曲率函数.讨论了曲率函数为常数的伪零曲线的结构函数和曲线表达式, 并且给出了相应的例子.为今后伪零曲线的进一步研究提供了新的思路和方法.