2020, Vol. 41
机械结构的材料性能、作用载荷以及几何特性等存在诸多的不确定性.为了考虑这些不确定因素的影响, 往往需要复杂的数值积分计算以获得结构的失效概率, 但对于非线性程度较高或者具有隐式功能函数的可靠性评估问题是不可行的，目前, 国内外学者提出了很多可靠性分析方法来解决这一问题.例如蒙特卡罗模拟(Monte Carlo simulation, MCS)方法、一阶可靠性方法、二阶可靠性方法、代理模型方法等.一阶可靠性方法及二阶可靠性方法只适用于具有显式功能函数的可靠性评估问题, 且精度较低.MCS方法虽然可以避免求解功能函数的显式表达, 但计算工作量太大.代理模型方法是目前应用最广泛的机械结构可靠性分析方法.
在基于代理模型的可靠性方法中, 响应面模型结构简单, 广泛应用于结构的可靠性分析中.但基于响应面模型的结构可靠性分析方法对于非线性程度较高的功能函数, 会带来较大的计算误差.文献[1-5]研究了基于神经网络模型、支持向量机模型、Kriging模型的结构可靠性分析方法, 获得了较好的分析结果.
近年来, 基于Kriging模型的可靠性分析方法引起了广泛的关注.国内外学者进行了大量的研究[6-12].与其他代理模型相比, Kriging模型是一种高效的差值模型, 不但可以获得未知样本点的预测均值, 还能获得预测误差, 预测误差可以被广泛地应用于下一次样本的更新与选择.基于Kriging模型的可靠性分析方法中, 应用最广泛的是文献[11]提出的高效全局可靠性分析(efficient global reliability analysis, EGRA)方法以及文献[12]提出的结合Kriging模型及MCS(AK-MCS)的可靠性分析方法等.这种序列可靠性分析方法能够提高结构可靠性计算的精度, 并减少对实际功能函数的调用次数.然而, 此类序列可靠性分析方法均需要估计未知样本点的误差, 对于其他代理模型如:响应面、径向基函数、支持向量机等均不能给出样本点的预测误差, 从而限制了该类方法的应用.
鉴于此, 本文提出一种改进的EGRA方法, 使所有代理模型共用Kriging模型的预测误差.从而, 在每次迭代过程中, 通过最大化所有代理模型的期望可行函数(expected feasibility function, EFF)获得多个样本点.将这些样本点同时加入到样本库中并更新所有代理模型, 直到满足给定的精度为止.本文提出的方法能够充分发挥有限的样本信息, 仅需要较少的迭代次数, 就能得到较好预测模型.
1 高效全局可靠性分析算法高效全局可靠性分析方法(EGRA)是在Kriging模型基础上，结合主动学习函数发展而来的.为此，本文先对Kriging模型作简要介绍.
1.1 Kriging模型一般来说, Kriging模型由线性回归部分和非参数部分组成:
|
(1) |
式中:h(x)为回归多项式基函数向量；β是用广义最小二乘法估计的回归系数向量；Z(x)服从均值为零、方差为常量的正态分布, 且Z(xi)和Z(xj)的协方差定义为
|
(2) |
式中:σ2, R(xi, xj, θ)分别表示样本方差及相关函数；θ为相关性参数.
根据Kriging理论, 在未知点x的预测值为
|
(3) |
其中:F为回归矩阵；
|
(4) |
高效全局可靠性分析(EGRA)方法由Bichon等[11]提出用于求解具有非线性隐式功能函数的可靠性问题.其原理是采用EFF指标评价真实响应函数在z±ε范围内满足等式约束G(x)=z的程度, 即
|
(5) |
式中, 
最佳样本点为使f(x)函数取最大值所对应的点:
|
(6) |
EGRA方法采用EFF函数评价指标在极限状态方程附近自适添加最显著样本点, 当最大EFF函数值满足收敛条件时, 即终止整个迭代过程.EGRA方法极大地提高了Kriging模型在极限状态曲面附近的预测精度, 但在迭代过程中, 每次仅增加一个样本点来更新代理模型, 效率较低, 且无法实现并行计算.
2 基于多代理的改进全局可靠性分析方法本文在EGRA方法的基础上提出了一种改进的全局可靠性分析方法.该方法通过最大化多个代理模型的EFF函数(式(5))获得多个样本点, 将这些新增样本点添加到初始样本库中并更新全部代理模型, 直到满足给定的收敛条件.
2.1 引入其他代理模型的不确定估计EGRA方法需要代理模型提供未知样本点的不确定估计.除Kriging模型外，其他代理模型均不具备这一特性.根据Jones等[13]的研究:代理模型不需要提供未知样本点的精确不确定估计, 可以采用从其他代理模型引入的方法.因此, 本文提出引入Kriging模型预测误差的多代理模型可靠性分析方法.
通过一维算例f(x)=(6x－2)2×sin(2×(6x－2))，说明引入Kriging模型预测误差的合理性.该算例函数的非线性程度高, 分别采用Kriging模型和支持向量回归(support vector regression, SVR)模型进行拟合, 拟合结果见图 1.Kriging模型和支持向量回归模型均采用差值优化算法构建预测模型, 从图 1a中可以看出:两个代理模型的预测值均通过初始样本点.通过对比图 1b和图 1c可以看到，Kriging模型为SVR模型提供了合理的误差估计.
|
图 1 引入Kriging模型的预测误差 Fig.1 Prediction errors imported into the Kriging model (a)—Kriging及SVR预测值和初始样本；(b)—Kriging预测值及预测误差；(c)—SVR预测值及引入Kriging预测误差. |
图 2为Kriging模型及SVR模型真实误差与预测误差的对比分析.图 2a的分析结果说明:Kriging模型的预测误差与函数的真实误差吻合得较好.从图 2b中可以看出, 引入Kriging模型的预测误差总体上反映了SVR模型真实误差的分布趋势.算例的分析结果表明:引入其他代理模型不确定性估计的方法是可行的.
|
图 2 真实误差与预测误差的比较 Fig.2 Comparison of real errors and prediction errors (a)—Kriging模型真实误差与预测误差；(b)—SVR模型真实误差与引入预测误差. |
鉴于EGRA方法不能实现多点采样及并行计算, 本文提出一种基于多代理的改进全局可靠性分析方法.在序列采样过程中, 该方法通过最大化多个代理模型的EFF(式(5))获得多个样本点, 添加到初始样本库中并更新全部代理模型, 直到满足收敛条件.方法的具体步骤为
1) 采用拉丁超立方抽样方法生成少量初始样本, 计算功能函数真实响应值, 建立初始样本集.
2) 构建多个代理模型.本文所采用的多个代理模型中, 包含一个Kriging模型, 其他代理模型均引入Kriging模型的不确定性估计.
3) 计算基于各代理模型的EFF值, 并找出使EFF(式(6))取得最大值的全部样本点, 若max(EFF(x))小于给定的阈值, 转到步骤7).
4) 利用并行计算的方法, 计算步骤3)获得的全部样本点的真实响应函数值.
5) 将新增样本点添加到初始样本集中, 并更新所有代理模型.
6) 转到步骤2), 继续下一次循环迭代过程.
7) 利用最后一次循环迭代构建的代理模型及MCS方法计算失效概率.
3 实例验证通过两个工程实例(包括一个高维问题(算例1)和一个高度非线性问题(算例2))来验证所提方法的准确性和有效性.
3.1 10杆平面桁架结构算例1考虑文献[14]中的平面10杆桁架结构, 如图 3所示.随机变量为各杆件的横截面积、各节点荷载、水平杆件和垂直杆件的长度L, 弹性模量E.各随机变量相互独立, 且服从正态分布, 其均值和变异系数如表 1所示.结构的极限状态方程为
|
(7) |
|
图 3 平面10杆桁架结构 Fig.3 Diagram of the ten-bar structure |
|
表 1 桁架结构随机变量分布信息 Table 1 Distribution parameters of the input variables of the ten-bar structure |
其中Δy为节点4在垂直方向上的位移.节点4的垂直位移超过允许值则发生失效.由于结构较为复杂, 采用有限元软件对Δy进行求解.结构的有限元模型如图 4所示.
|
图 4 平面10杆桁架结构有限元模型 Fig.4 Finite element model of the ten-bar structure |
本例中, 本文方法使用4个代理模型(响应面模型、径向基函数模型、支持向量机模型及Kriging)共用Kriging模型的预测方差来验证所提方法的有效性.可靠性分析结果列于表 2.其中, 将样本数目为106的MCS计算结果作为参考值, Ncall为有限元仿真次数, Niteration为迭代次数, Pf为失效概率, ΔPf为失效概率的相对误差.
|
|
表 2 桁架结构可靠性分析结果 Table 2 Results of the reliability analysis of the ten-bar structure |
对比表 2中的计算结果可知, EGRA方法需要91次的循环迭代才能得到较好的计算结果, 其计算成本明显低于MCS方法, 但与本文方法相比, 其计算效率仍然不高.而本文方法仅需要36次循环迭代就能够较好地评估结构的失效概率.虽然本文方法需要更多的有限元仿真次数, 但借助并行计算手段只需要较少的循环迭代次数就能获得理想的分析结果.该算例表明在每次迭代过程中使用多点加点方法是有益的.
给定不同的循环迭代终止指标, EGRA方法和本文方法所需的循环迭代次数是不同的.为了证明本文方法的有效性, 对两种方法在不同迭代终止指标下所需的迭代次数进行了比较, 分析结果如图 5所示.以MCS方法所需要的迭代次数为参考, 如图中虚线所示.从图 5中可以看出, 本文方法需要较少的迭代次数就能迅速收敛到真实值, 表明了本文所提出方法的有效性.
|
图 5 算例1不同迭代终止指标下的循环迭代次数对比 Fig.5 Results of different Niteration for different index of iteration termination for example 1 |
算例2选取文献[14]中某双壳油轮甲板加筋板结构, 如图 6所示.加筋板各随机变量的分布信息如表 3所示.结构的极限状态函数为
|
(8) |
|
图 6 加筋板结构有限元模型 Fig.6 Finite element model of the stiffened plate |
|
|
表 3 加筋板结构随机变量分布参数 Table 3 Distribution parameters of the random variables of the stiffened plate |
式中:σu(x)为加筋板的极限压应力；σsw(x)为轴向静水压应力；σwi(x)为波浪载荷引起的轴向压应力.
|
(9) |
利用线性弹性理论和材料的塑性法则模拟加筋板在轴向压力作用下的材料非线性行为.在有限元分析软件ANSYS中求解式(8)中的各应力分量.为了提高分析效率, 在加筋板的纵向边缘和中间横截面处施加对称边界条件.
本例中, 本文方法使用6个代理模型(响应面模型、改进响应面模型、神经网络模型、径向基函数模型、支持向量机模型及Kriging)共用Kriging模型的预测方差来验证所提方法的可行性, 可靠性分析结果见表 4.
|
|
表 4 加筋板结构可靠性分析结果 Table 4 Results of the reliability analysis of the stiffened plate |
从表 4中可以看出:MCS方法需要106次的有限元计算才能得到理想的分析结果, 对于实际工程问题是不可行的.与MCS方法相比较, EGRA方法虽然显著减少了循环迭代次数, 但其计算成本也令人难以接受.而本文方法只需要93次循环迭代就可以收敛到精确解.这是由于在每次迭代过程中, 本文方法借助并行计算技术可同时进行多达6次的有限元模拟, 因此, 本文方法效率更高.可靠性分析结果表明, 该方法是一种有效的复杂结构可靠性分析方法.对于具有非线性功能函数的可靠性问题, 尤其涉及到复杂有限元计算的工程应用实例，其优势更加明显.
同样, 对EGRA方法及本文方法在不同迭代终止指标下的迭代次数进行了比较, 如图 7所示.从图 7可以看出, 本文方法以更快的速度收敛到MCS方法分析结果.当进行到93次循环迭代时, 本文方法的计算结果与MCS方法的结果基本一致.然而, 对于EGRA方法来说, 直到485次循环迭代后才接近MCS方法计算结果.因此, 本文提出的方法更适合解决算例2工程问题.
|
图 7 算例2不同迭代终止指标下的循环迭代次数对比 Fig.7 Results of different Niteration for different index of iteration termination for example 2 |
1) 本文提出了一种改进的EGRA方法.与现有的EGRA方法相比, 该方法在每次循环迭代中使用多个代理模型同时向样本库中添加多个样本点, 并更新所有代理模型, 直到满足给定的精度循环迭代停止.由于某些代理模型不能给出样本点的不确定性估计, 本文提出从Kriging模型引入不确定性估计的方法, 即所有代理模型共用Kriging模型预测误差的方法.在获得隐式极限状态方程精确的近似模型后, 采用MCS方法进行可靠性分析.
2) 本文提出的方法能够显著减少循环迭代次数.虽然对功能函数的总调用次数多于EGRA方法, 但借助并行计算技术, 本文所提出的方法效率更高.
3) 本文方法在具有高维和非线性隐式极限状态函数的两个工程问题中进行了验证.结果表明, 本文提出的方法是一种高效的可靠性分析方法, 能更好地应用于复杂的实际工程问题.
| [1] |
Papadrakakis M, Lagaros N D. Reliability-based structural optimization using neural networks and Monte Carlo simulation[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2001, 191(32): 3491-3507. |
| [2] |
Bourinet J M, Deheeger F, Lemaire M. Assessing small failure probabilities by combined subset simulation and support vector machines[J]. Structural Safety, 2011, 33(6): 343-353. DOI:10.1016/j.strusafe.2011.06.001 |
| [3] |
Kaymaz I. Application of Kriging method to structural reliability problems[J]. Structural Safety, 2005, 27(2): 133-151. |
| [4] |
Echard B, Gayton N, Lemaire M, et al. A combined importance sampling and Kriging reliability method for small failure probabilities with time-demanding numerical models[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2013, 111(8): 232-240. |
| [5] |
Bucher C G, Bourgund U. A fast and efficient response surface approach for structural reliability problems[J]. Structural Safety, 1990, 7(1): 57-66. |
| [6] |
Zhang C Y, Wang Z, Fei C W, et al. Fuzzy multi-SVR learning model for reliability-based design optimization of turbine blades[J]. Materials, 2019, 12(15): 2341-2355. DOI:10.3390/ma12152341 |
| [7] |
Song L K, Bai G C, Fei C W. Probabilistic LCF life assessment of turbine discs using DC-based wavelet neural network regression[J]. International Journal of Fatigue, 2019, 119: 204-219. DOI:10.1016/j.ijfatigue.2018.10.005 |
| [8] |
Fei C W, Lu C, Feng Y W, et al. Improved decomposed-coordinated Kriging modeling strategy for dynamic probabilistic analysis of multi-component structures[J]. IEEE Transactions on Reliability, 2019, 29: 54379. |
| [9] |
Fei C W, Lu C, Rhea P. Decomposed-coordinated surrogate modelling strategy for compound function approximation and a turbine blisk reliability evaluation[J]. Aerospace Science and Technology, 2019, 95: 105466. DOI:10.1016/j.ast.2019.105466 |
| [10] |
Lu C, Feng Y W, Rhea P, et al. Improved Kriging with extremum response surface method for structural dynamic reliability and sensitivity analyses[J]. Aerospace Science and Technology, 2018, 76: 164-175. DOI:10.1016/j.ast.2018.02.012 |
| [11] |
Bichon B J, Eldred M S, Swiler L P, et al. Efficient global reliability analysis for nonlinear implicit performance functions[J]. AIAA Journal, 2008, 46(10): 2459-2468. DOI:10.2514/1.34321 |
| [12] |
Echard B, Gayton N, Lemaire M. AK-MCS:an active learning reliability method combining Kriging and Monte Carlo simulation[J]. Structural Safety, 2011, 33(2): 145-154. |
| [13] |
Jones D R, Schonlau M, Welch W J. Efficient global optimization of expensive black-box functions[J]. Journal of Global Optimization, 1998, 13(4): 455-492. DOI:10.1023/A:1008306431147 |
| [14] |
Li L Y, Lu Z Z, Feng J, et al. Moment-independent importance measure of basic variable and its state dependent parameter solution[J]. Structural Safety, 2012, 38: 40-47. |