2020, Vol. 41
振动过大是转子系统产生可靠性故障的主要原因, 剧烈的振动可以导致重大的破坏.
对于转子振动的抑制, 有效方法之一是附加动力吸振器; 但从目前的研究来看, 线性吸振器有效吸振频带窄, 结构复杂, 因此可靠性低, 应用范围有限[1-2].现代旋转机械的工况复杂多变, 迫切需要设计出结构简单且工作频带宽的吸振器, 非线性能量阱(nonlinear energy sink, NES)是较成功的例子[3].
文献[4]用NES抑制转子轴承系统的振动; 文献[5]则是考虑多频激励的工况, 研究了NES对航空发动机的抑振性能.Guo等[6]用NES抑制不平衡空心转子系统的振动; Yao等[7-8]设计了多种用于转子系统振动抑制的NES, 例如, 永磁体正负刚度并联式NES、接地式非光滑NES等.
从近些年的研究来看, 学者们大多只关注NES对转子(忽略叶片)的振动抑制, 或对单独旋转叶片的振动抑制[9-14].但是, 在转子系统中, 转子和叶片通常存在耦合关系, 因此, 研究转子-叶片耦合系统的振动抑制将更加具有实际意义.
本文以转子-叶片系统的不平衡振动为研究背景, 以非光滑非线性能量阱(non-smooth nonlinear energy sink, NSNES)为抑振手段, 抑制该系统中转子和叶片的振动, 此时的抑振机制是强调制响应[15] (strongly modulated response, SMR).文中还比较分析了相同质量的NSNES和线性动力吸振器(linear dynamic vibration absorber, LDVA)的抑振能力.
1 NSNES结构如图 1a所示, NSNES的具体结构包括NES质量块、分段刚度梁和固定支撑等[16], NSNES在转子-叶片系统上的装配如图 1b所示.
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图 1 NSNES结构及组装 Fig.1 Structure and assembly of NSNES (a)—结构; (b)—安装示意图. |
NSNES的分段刚度弹簧如图 2a所示, 分段刚度梁叠加拟合成立方刚度.梁的厚度为hj、宽度为bj、长度为lj, 如图 2b所示.
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图 2 分段刚度梁模型 Fig.2 Piecewise stiffness beam model (a)—分段刚度弹簧; (b)—第j根板簧尺寸. |
设板簧j(j=1, 2, 3, 4)的弯曲刚度为knj:
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(1) |
式中:E为材料弹性模量; Ij为相应线性梁的截面惯性矩.
NES质量块与分段刚度梁间有间隙, 如图 3a所示.随着振幅增大, 分段刚度梁逐一与NES质量块接触, 此过程中NSNES的刚度变化及与立方刚度的拟合情况如图 3b所示.
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图 3 NSNES的刚度变化 Fig.3 Stiffness variation of NSNES (a)—截面图; (b)—刚度变化及拟合图. |
文中的动力学模型用拉格朗日方程建立:
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(2) |
式中：Ttotal, Utotal分别是系统的动能、势能; Ftotal是作用于系统的外力向量; q为系统的广义坐标.
转子-叶片系统的动力学模型如图 4所示，转子模型设为各向同性的单轴-单盘-单跨形式.整体结构简化成集中质量模型，质量集中在刚性圆盘处.两端弹性支撑的刚度和阻尼系数分别为kx=ky和cx=cy.
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图 4 转子-叶片系统的动力学模型 Fig.4 Dynamic model of rotor-blade system |
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(3) |
式中:md为转子质量; ξd为阻尼比.
2.2 动力学建模 2.2.1 能量分析1) 转子:刚性转子的动能、势能分别为
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(4) |
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(5) |
式中：kd表示转子系统刚度，kd=2kx; x, y和ẋ, ẋ分别为刚性圆盘的位移和速度.
2) 叶片:在转盘周向均匀分布着Nb个叶片, 如图 5所示(图中只画1个).当忽略叶片的剪切形变时, 其可简化成悬臂的欧拉-伯努利梁.
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图 5 转盘-叶片系统的分析图 Fig.5 Analysis diagram of the disk-blade system |
根据文献[17]知, 当Nb≥3时，转盘-叶片系统是一种循环对称结构，结构上第k个叶片的动能为
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(6) |
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(7) |
式中：(xd, yd, zd)为转盘在xOy坐标系中的位移坐标; R为半径; (u, v, w)为叶片在xbO′yb坐标系中的位移坐标，为研究方便，令zd=0，u=0，w=0;A是从叶片局部坐标系xbO′yb到系统全局坐标系xOy的旋转变换矩阵，将叶片的响应从局部坐标系转换到系统的全局坐标系中，即将叶片和转子的响应统一起来.
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(8) |
其中：φk=ωt+(k-1)2π/Nb，ω为转子转速.
因此, 第k个叶片的动能为
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(9) |
式中：lb为叶片长度; Ab=bb×hb为横截面积，bb与hb分别为截面的宽度和厚度; ρb为密度; v=vk是第k个叶片的弯曲位移.
相应地, 第k个叶片的势能包括弯曲势能、弯曲轴向力应变能, 具体为
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(10) |
式中Ib为截面惯性矩.
采用假设模态法分析叶片[18], 设叶片的弯曲位移v的第i阶模态的振型函数为Vi(x):
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(11) |
式中λi为振型函数特征方程的特征值.
第k个叶片的弯曲位移vk可表示为
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(12) |
式中：Nbmod为模态阶数，取Nbmod=2;qvk是第k个叶片的广义弯曲位移向量.
3) NSNES:NSNES附加于叶片尖部, Q为NES质量块上任意一点, 则第k个NES质量块的动能为
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(13) |
式中：mn为NES质量; rQ=[xd, yd]T+A[R+lb-l, v]T，l为NSNES分段刚度梁的长度.
NSNES的刚度由线性刚度(连接梁产生)和分段线性刚度(分段刚度梁产生)组成, 所以首先分析转子-叶片-NSNES连接梁系统.称此连接梁和NES质量块构成一个I结构, 相应的第k个I结构的势能为
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(14) |
式中：v=vk-vnk，vnk为第k个NES质量块的位移.
2.2.2 建立方程转子-叶片-I结构系统的总动能和总势能分别为
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(15) |
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(16) |
将式(15)和式(16)代入式(2)中, 可有转子、Nb个叶片和Nb个I结构组成系统的动力学方程:
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(17) |
式中：MrbL为质量矩阵; 令DrbL=CrbL+GrbL为广义阻尼矩阵，CrbL为阻尼矩阵，采用瑞利阻尼模型，GrbL为陀螺力矩矩阵; KrbL为刚度矩阵; qrbL=[qr, qb1, qL1, …, qbNb, qLNb]T，qr=[x, y]T与qbk=qvk=[qvk1, …, qvkNbmod]T分别为转盘和叶片尖端的广义位移坐标，qLk=[vnk].
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(18) |
式中α和β为比例系数：
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式中：ξ1和ξ2为阻尼比系数; ωrbL1，ωrbL2为转子-叶片-I结构系统的前两阶固有频率.
FrbL为作用于转子-叶片-I结构系统的力向量
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(19) |
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(20) |
式中mr与r分别为转子的偏心质量和偏心度.
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(21) |
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(22) |
将knj(j=2, 3, 4)引入式(17)中，即为转子-叶片-NSNES系统的动力学建模.设NES质量块与各分段刚度梁间的间隙为ej(j=1, 2, 3)，则第k个NSNES的分段线性梁模型的作用力为
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(23) |
第k个NSNES的阻尼系数可表示为
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(24) |
式中：ξn为图 2梁模型的阻尼比，ξn取0.02.
综合式(23)、式(24)和式(17)可有转子、Nb个叶片和Nb个NSNES耦合系统的动力学方程:
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(25) |
式中，Frbn=FrbL+Fn，
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本文研究NSNES对转子-叶片系统稳态振动的抑制, 从两个方面验证转子-叶片-NSNES系统动力学模型的有效性:
1) 文献[16]已从数值仿真和试验验证两方面给出了NSNES抑制单自由度系统稳态振动的有效性, 所以NSNES的模型有效.
2) 对转子-叶片-NSNES系统模型的验证.文献[11]用一个立方刚度NES抑制旋转叶片的受迫振动, 该文作者用拟Hamilton变分方程对叶片-NES系统(无转子)进行动力学建模, NES加在叶片的尖部.该叶片-NES系统的动力学模型和本文转子-叶片-NSNES系统的动力学模型的差别在于:本文增加了弹性支撑的转子系统, 并将叶片数增加到4个, 更加复杂.当把本文转子系统的位移xd和yd都设为0时, 可以看出, 本文的式(15)与文献[11]的式(4)将具有类似的内容和形式, 本文的式(16)与文献[11]的式(1)也将具有类似的内容和形式.即文献[11]叶片-NES系统与本文转子-叶片-NSNES系统的动能和势能的差别就在转子系统处.因此由文献[11]叶片-NES系统动力学模型的有效性即可得本文转子-叶片-NSNES系统动力学模型的有效性.
3 数值分析 3.1 参数设定设转子系统的弹性模量和密度分别为2.1×1011 Pa和7 850 kg/m3.其他参数见表 1.
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表 1 转子仿真参数 Table 1 Simulation parameters of rotor |
叶片仿真参数见表 2.
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表 2 叶片仿真参数 Table 2 Simulation parameters of blade |
NSNES的参数设定:如图 2所示hj=2 mm, lj=35 mm, (j=1, 2, 3, 4), 连接梁宽度b1=0.5 mm, 分段刚度梁宽度b2=3.62 mm, b3=9.73 mm, b4=18.91 mm; NES质量mn=0.07 kg.NES质量块与分段刚度梁的间隙设定不同的值:e1=0.1 mm, e2=0.2 mm, e3=0.3 mm, 称此NSNES为NES1;e1=0.2, e2=0.4和e3=0.6, 称此NSNES为NES2.NES1和NES2的分段线性刚度曲线如图 6所示.
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图 6 NES1与NES2的分段线性刚度曲线 Fig.6 Piecewise linear stiffness curves of NES1 and NES2 (a)—NES1;(b)—NES2. |
附加两种NSNES前后转子系统的共振峰值分别为0.94, 0.31和0.42 mm.由图 7知, NES1与NES2的抑振率分别达到68%和55%.
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图 7 添加NSNES后转子的幅频响应曲线 Fig.7 Amplitude-frequency response curves of the rotor after adding the NSNES (a)—加NES1;(b)—加NES2. |
图 8a和图 8b分别对应于图 7a和图 7b中ω=276 rad/s时的时域响应曲线.在两图中都出现了拍振现象, 即可证明在以上的两个耦合系统的共振区内都发生了强调制响应(SMR)行为.但转子-叶片-NES2系统的SMR较弱.
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图 8 在276 rad/s时转子的时域响应曲线 Fig.8 Time domain response curves of the rotor at 276 rad/s (a)—加NES1;(b)—加NES2. |
叶片在附加两种NSNES前后的共振峰值分别为0.58, 0.22和0.36 mm.由图 9知, NES1与NES2的抑振率分别达到62%和38%.
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图 9 添加NSNES后叶片的幅频响应曲线 Fig.9 Amplitude-frequency response curves of the blade after adding the NSNES (a)—加NES1;(b)—加NES2. |
图 10是添加NES1和NES2后, 叶片在ω=276 rad/s时的时域响应曲线.
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图 10 在276 rad/s时叶片的时域响应曲线 Fig.10 Time domain response curves of the blade at 276 rad/s (a)—加NES1;(b)—加NES2. |
重新设计2.2节I结构中连接梁的宽度, 就形成一个LDVA, 如图 11所示, 目的是与上文的NSNES的抑振能力进行对比.该LDVA与NSNES加在叶片的同一位置, 转子-叶片-LDVA系统的动力学建模类似于上文的转子-叶片-I结构系统.
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图 11 LDVA的结构示意图 Fig.11 Schematic diagram of LDVA (a)—LDVA模型; (b)—刚度梁结构示意图. |
设LDVA的吸振器质量mD等于mn(0.07 kg), 并且刚度梁的长度lD、厚度hD和宽度bD分别设为35, 2和1.2 mm.
对转子-叶片-LDVA系统进行稳态减振分析, 然后分别将该系统中转子和叶片的幅频响应曲线与图 7和图 9进行对比, 如图 12所示.
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图 12 抑振能力对比 Fig.12 Comparison of vibration suppression capability (a)—转子; (b)—叶片. |
在图 12a中, 添加LDVA后转子响应曲线的反共振点有微小的向左移动(ω减小的方向), 这是由于附加LDVA后系统质量增大的原因; 而图 12b中, 叶片响应曲线的反共振点有稍大的向右移动, 郭虎伦等[11]的研究结论是, 转速的增大使叶片产生了少许的动力刚化, 致使叶片的固有频率增加, 反共振点向右移动.
可以看到, 附加于叶片尖部的LDVA也能抑制转子-叶片系统中转子和叶片的振动.但从整个转速范围来看, LDVA的抑振能力稍弱于NSNES.
4 结论1) 安装于叶片尖部的NSNES可以分别抑制转子-叶片系统中转子和叶片的稳态共振.
2) 适当减小分段线性梁的配合间隙, 可以使NSNES具有较好的抑振能力.
3) 在给定参数下, 相同质量的NSNES比LDVA具有更好的抑振能力.
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