基于非交互零知识证明的可验证全同态加密算法

doi:10.12068/j.issn.1005-3026.2024.11.003

摘要/Abstract

摘要：

同态加密（homomorphic encryption，HE）由于低执行效率和无法保护数据完整性的问题严重限制了其在实际应用中的部署，尤其是在对延迟有严格要求的场景中，为此，提出了一种新的HE来解决这些问题并增强通用性.为了解决执行效率低的问题，设计了多线程矩阵乘法（multithreaded matrix multiplication，MMM）算法.利用MMM算法，可以将加密任务拆解分配给多个线程并行执行，达到加速的目的.针对恶意服务器场景下的数据篡改问题，设计了一个可验证加密机制，利用非交互零知识证明（zk-SNARK）技术保护外包计算中密文的完整性.结合MMM算法，设计了一种高效的基于零知识证明的可验证全同态加密算法（verifiable fully homomorphic encryption based on zk-SNARKs，zk-VFHE）.理论分析和实验结果表明，zk-VFHE比同类协议具有更快的执行速度和更高的安全性.

关键词: 全同态加密, 误差学习, 非交互零知识证明, 可验证计算, 矩阵编码

Abstract:

Homomorphic encryption （HE） is severely limited in its practical deployment due to low execution efficiency and the inability to ensure data integrity， particularly in scenarios with strict latency requirements. To address such issues and enhance general applicability， a new HE scheme is proposed. To improve execution efficiency， a multithreaded matrix multiplication （MMM） algorithm is designed. With the MMM algorithm， encryption tasks can be decomposed and distributed across multiple threads for parallel execution， thus achieving acceleration. To tackle data tampering in malicious server environments， a verifiable encryption mechanism is designed using zk-SNARK techniques to protect the integrity of ciphertext in outsourced computations. By combining MMM， an efficient verifiable fully homomorphic encryption based on zk-SNARK （zk-VFHE） was developed. Theoretical analysis and experimental results demonstrate that zk-VFHE outperforms similar protocols in terms of both execution speed and security.

Key words: fully homomorphic encryption, learning with errors, zero?knowledge succinct non?interactive arguments of knowledge（zk-SNARK）, verifiable computation, matrix codes

中图分类号:

TP 309.2

孙劲桐, 周福才, 王强, 边澈. 基于非交互零知识证明的可验证全同态加密算法[J]. 东北大学学报（自然科学版）, 2024, 45(11): 1537-1546.

Jin-tong SUN, Fu-cai ZHOU, Qiang WANG, Che BIAN. Verifiable Fully Homomorphic Encryption Based on Zero‑Knowledge Succinct Non‑interactive Arguments of Knowledge[J]. Journal of Northeastern University(Natural Science), 2024, 45(11): 1537-1546.

图/表 15

表1 LWE难题的符号定义

Table 1 Symbols of LWE problem

符号	定义
n	正整数
q	正整数， $q ≥ 2$
$Λ$	格， $Λ ∈ R q$
$α$	误差参数， $α ∈ Z +$
$ρ σ, μ x$	高斯函数， $ρ σ, μ x = e x p ? (- π x - c 2 σ 2)$ ，其中 $σ = α 2 π, μ = 0$
$ρ σ, μ Λ$	格 $Λ$ 上的离散积分， $ρ σ, μ Λ = ∑ x ∈ Λ ρ σ, μ x$
$Ψ σ, μ, Λ (x)$	离散高斯分布， $Ψ σ, μ, Λ x = ρ σ, μ x ρ σ, μ Λ$

表1 LWE难题的符号定义

Table 1 Symbols of LWE problem

符号	定义
n	正整数
q	正整数， $q ≥ 2$
$Λ$	格， $Λ ∈ R q$
$α$	误差参数， $α ∈ Z +$
$ρ σ, μ x$	高斯函数， $ρ σ, μ x = e x p ? (- π x - c 2 σ 2)$ ，其中 $σ = α 2 π, μ = 0$
$ρ σ, μ Λ$	格 $Λ$ 上的离散积分， $ρ σ, μ Λ = ∑ x ∈ Λ ρ σ, μ x$
$Ψ σ, μ, Λ (x)$	离散高斯分布， $Ψ σ, μ, Λ x = ρ σ, μ x ρ σ, μ Λ$

图1 隐私保护的可验证外包计算

Fig.1 Privacy?preserving verifiably outsourced computing

表2 LWE难题的符号定义

Table 2 Symbols of MMM

符号	定义
$A$	$A ∈ Z q s × r$ ，矩阵乘法的左因数
$B$	$B ∈ Z q s × t$ ，矩阵乘法的右因数
$m$	$A$ 的分片数
$n$	$B$ 的分片数
$A [·]$	$A$ 分片后得到的子矩阵数组
$B [·]$	$B$ 分片后得到的子矩阵数组
$T [·]$	线程序列
t	一个线程
$N$	线程的数量
$i d$	线程的标识符
$(x i d, y i d)$	线程 $i d$ 生成的用于拉格朗日插值的点坐标

表2 LWE难题的符号定义

Table 2 Symbols of MMM

符号	定义
$A$	$A ∈ Z q s × r$ ，矩阵乘法的左因数
$B$	$B ∈ Z q s × t$ ，矩阵乘法的右因数
$m$	$A$ 的分片数
$n$	$B$ 的分片数
$A [·]$	$A$ 分片后得到的子矩阵数组
$B [·]$	$B$ 分片后得到的子矩阵数组
$T [·]$	线程序列
t	一个线程
$N$	线程的数量
$i d$	线程的标识符
$(x i d, y i d)$	线程 $i d$ 生成的用于拉格朗日插值的点坐标

表3 MMM算法

Table 3 MMM algorithm

M M M (A, B) → A T B

输入： $A, B$

输出： $A T B$

1. $A [m] ← S p l i t A, m$

2. $B [n] ← S p l i t B, n$

3. 调用N个线程并行执行 $T O (T [i], i, A [?], B [?])$

4. 接收最先返回的 $m n$ 个结果记为： $T O 0, …, T O m n - 1$

5. $P [m n] = N u l l$

6. for $i = 0$ to $m n - 1$ do

7. $P [i] = T O i$

8. end for

9. $C O E [m n] = L I (P [?])$

10. $R [m] [n] = N u l l$

11. for $i = 0$ to $n - 1$ do

12. for $j = 0$ to $m - 1$ do

13. $R [j] [i] = C O E [j + i × m]$

14. end for

15. end for

16. Return

R [?] [?]

表3 MMM算法

Table 3 MMM algorithm

M M M (A, B) → A T B

输入： $A, B$

输出： $A T B$

1. $A [m] ← S p l i t A, m$

2. $B [n] ← S p l i t B, n$

3. 调用N个线程并行执行 $T O (T [i], i, A [?], B [?])$

4. 接收最先返回的 $m n$ 个结果记为： $T O 0, …, T O m n - 1$

5. $P [m n] = N u l l$

6. for $i = 0$ to $m n - 1$ do

7. $P [i] = T O i$

8. end for

9. $C O E [m n] = L I (P [?])$

10. $R [m] [n] = N u l l$

11. for $i = 0$ to $n - 1$ do

12. for $j = 0$ to $m - 1$ do

13. $R [j] [i] = C O E [j + i × m]$

14. end for

15. end for

16. Return

R [?] [?]

表4 TO算法

Table 4 TO algorithm

T O (T, i d, A [?], B [?]) → (x i d, y i d)

输入： $T, i d, A [?], B [?]$

输出： $(x i d, y i d)$

1. $x i d = i d + 1$

2. $y i d = 0$

3. $A' = 0$

4. $B' = 0$

5. for $i = 0$ to $m - 1$ do

6. $A' + = A [i] × ? x i d i$

7. end for

8. for $i = 0$ to n $- 1$ do

9. $B' + = B [i] × ? x i d i m$

10. end for

11. $y i d = A' T B'$

12. Return

(x i d, y i d)

表4 TO算法

Table 4 TO algorithm

T O (T, i d, A [?], B [?]) → (x i d, y i d)

输入： $T, i d, A [?], B [?]$

输出： $(x i d, y i d)$

1. $x i d = i d + 1$

2. $y i d = 0$

3. $A' = 0$

4. $B' = 0$

5. for $i = 0$ to $m - 1$ do

6. $A' + = A [i] × ? x i d i$

7. end for

8. for $i = 0$ to n $- 1$ do

9. $B' + = B [i] × ? x i d i m$

10. end for

11. $y i d = A' T B'$

12. Return

(x i d, y i d)

表5 密钥生成算法

Table 5 KeyGen algorithm

K e y G e n (λ, f) → (p k, s k, p a r a m)

输入： $λ, f$

输出： $p k, s k, p a r a m$

1. $α, β u, β v, β w, γ, z, A 1, R, r p, r p - 1, e, E (x) ←$ $K e y P a r G e n λ$

2. $A C ← A C G e n (f)$

3. $Q ← Q A P G e n (C i)$

4. $A ← M a t r i x G e n (M M M R, A 1, - A 1)$

5. $T ← M a t r i x G e n (I, R)$

6. $e k = N u l l$

7. $v k = N u l l$

8. for $i = 1$ to $n$ do

9. $e k . a d d (E (z i), E (α z i), E (Q . u i (z)), E (α Q . u i (z)),$

$E (β u Q . u i (z)), E (Q . v i (z)), E (α Q . v i (z)), E (β v Q . v i (z)),$

$E (Q . w i (z)), E (α Q . w i (z)), E (β w Q . w i (z)))$

10. end for

11. $e k . a d d (E (Q . t z), E (α Q . t (z)), E (β u Q . t (z)), E (β v Q . t (z)),$

$E (β w Q . t (z)))$

12. $v k . a d d (E (1), E (α), E (γ), E (β u γ), E (β v γ), E (β w γ),$

$E (β w γ), E (Q . h (z)), E (α Q . h (z)))$

13. $p a r a m = (f, C i, Q, E, e)$

14. $p k = (A, r p, e k)$

15. $s k = (T, r p - 1, v k)$

16. Return

p k, s k, p a r a m

表5 密钥生成算法

Table 5 KeyGen algorithm

K e y G e n (λ, f) → (p k, s k, p a r a m)

输入： $λ, f$

输出： $p k, s k, p a r a m$

1. $α, β u, β v, β w, γ, z, A 1, R, r p, r p - 1, e, E (x) ←$ $K e y P a r G e n λ$

2. $A C ← A C G e n (f)$

3. $Q ← Q A P G e n (C i)$

4. $A ← M a t r i x G e n (M M M R, A 1, - A 1)$

5. $T ← M a t r i x G e n (I, R)$

6. $e k = N u l l$

7. $v k = N u l l$

8. for $i = 1$ to $n$ do

9. $e k . a d d (E (z i), E (α z i), E (Q . u i (z)), E (α Q . u i (z)),$

$E (β u Q . u i (z)), E (Q . v i (z)), E (α Q . v i (z)), E (β v Q . v i (z)),$

$E (Q . w i (z)), E (α Q . w i (z)), E (β w Q . w i (z)))$

10. end for

11. $e k . a d d (E (Q . t z), E (α Q . t (z)), E (β u Q . t (z)), E (β v Q . t (z)),$

$E (β w Q . t (z)))$

12. $v k . a d d (E (1), E (α), E (γ), E (β u γ), E (β v γ), E (β w γ),$

$E (β w γ), E (Q . h (z)), E (α Q . h (z)))$

13. $p a r a m = (f, C i, Q, E, e)$

14. $p k = (A, r p, e k)$

15. $s k = (T, r p - 1, v k)$

16. Return

p k, s k, p a r a m

表6 加密算法

Table 6 Enc algorithm

E n c p k (b) ? → c

输入： $b$

输出： $c$

1. $b', s, e ← E n c P a r G e n l, l 1, Z N r$

2. $m = b b'$

3. $c i n v = M M M p k . A, s T + N e T + m T ? m o d ? q$

4. $c = p k . r p (c i n v)$

5. Return

c

表6 加密算法

Table 6 Enc algorithm

E n c p k (b) ? → c

输入： $b$

输出： $c$

1. $b', s, e ← E n c P a r G e n l, l 1, Z N r$

2. $m = b b'$

3. $c i n v = M M M p k . A, s T + N e T + m T ? m o d ? q$

4. $c = p k . r p (c i n v)$

5. Return

c

表7 Eval运算算法

Table 7 Eval calculation algorithm

$E v a l p k (c, w, p a r a m) ? → (c', τ')$
输入： $c, w, p a r a m$
输出： $c', τ'$
1. $δ 1, δ 2, δ 3 ← E v a l P a r G e n Z q$ 2. $c', S ← A C . e v a l (p a r a m . f, c, w)$
3. $u = 0, ? v = 0, ? w = 0, ? α u = 0, ? α v = 0, ? α w = 0, u u = 0, ? v v = 0,$ $w w = 0$ 4. $τ' = N u l l$ 5. for $i = 1$ to $n$ do 6. $u · = e k . E u i z s i$ 7. $v · = e k . E v i z s i$ 8. $w · = e k . E w i z s i$ 9. $α u · = e k . E α u i z s i$ 10. $α v · = e k . E α v i z s i$ 11. $α w · = e k . E α w i z s i$ 12. $u u · = e k . E β u u i z s i$ 13. $v v · = e k . E (β v v i z) s i$ 14. $w w · = e k . E β w w i z s i$ 15. end for $16 . ? τ' . a d d u · e k . E t z δ 1, v · e k . E t z δ 2,$ $???????? w · e k . E t z δ 3, α u · e k . E α t z δ 1, α v · e k . E α t z δ 2,$ $???????? α w · e k . E α t z δ 3, E δ 1, E δ 2, E δ 3, v δ 1, u δ 2,$ $???????? u u · v v · w w · e k . E β u t z δ 1 · e k . E β v t z δ 2 ·$ $??????? e k . E β w t z δ 3$
17. Return $c', τ'$

表7 Eval运算算法

Table 7 Eval calculation algorithm

$E v a l p k (c, w, p a r a m) ? → (c', τ')$
输入： $c, w, p a r a m$
输出： $c', τ'$
1. $δ 1, δ 2, δ 3 ← E v a l P a r G e n Z q$ 2. $c', S ← A C . e v a l (p a r a m . f, c, w)$
3. $u = 0, ? v = 0, ? w = 0, ? α u = 0, ? α v = 0, ? α w = 0, u u = 0, ? v v = 0,$ $w w = 0$ 4. $τ' = N u l l$ 5. for $i = 1$ to $n$ do 6. $u · = e k . E u i z s i$ 7. $v · = e k . E v i z s i$ 8. $w · = e k . E w i z s i$ 9. $α u · = e k . E α u i z s i$ 10. $α v · = e k . E α v i z s i$ 11. $α w · = e k . E α w i z s i$ 12. $u u · = e k . E β u u i z s i$ 13. $v v · = e k . E (β v v i z) s i$ 14. $w w · = e k . E β w w i z s i$ 15. end for $16 . ? τ' . a d d u · e k . E t z δ 1, v · e k . E t z δ 2,$ $???????? w · e k . E t z δ 3, α u · e k . E α t z δ 1, α v · e k . E α t z δ 2,$ $???????? α w · e k . E α t z δ 3, E δ 1, E δ 2, E δ 3, v δ 1, u δ 2,$ $???????? u u · v v · w w · e k . E β u t z δ 1 · e k . E β v t z δ 2 ·$ $??????? e k . E β w t z δ 3$
17. Return $c', τ'$

表8 Ver验证算法

Table 8 Ver verification algorithm

V e r s k (c, τ) ? → a c c

输入： $c, τ$

输出： $a c c$

1. 生成 $i, j, k ∈ Z q +$

2. 初始化 acc = 0

3. if （ $c o n s t r a i n 1 i, τ ? ∧ ? c o n s t r a i n 2 j, τ ? ∧ ?$

$??????????? c o n s t r a i n 3 k, τ ? ∧ ? c o n s t r a i n 4 s k . v k, τ ? ∧ ?$

$??????????? c o n s t r a i n 5 s k . v k, τ ? ∧ ? c o n s t r a i n 6 s k . v k, τ$ ）

4. $a c c = 1$

5. Return

a c c

表8 Ver验证算法

Table 8 Ver verification algorithm

V e r s k (c, τ) ? → a c c

输入： $c, τ$

输出： $a c c$

1. 生成 $i, j, k ∈ Z q +$

2. 初始化 acc = 0

3. if （ $c o n s t r a i n 1 i, τ ? ∧ ? c o n s t r a i n 2 j, τ ? ∧ ?$

$??????????? c o n s t r a i n 3 k, τ ? ∧ ? c o n s t r a i n 4 s k . v k, τ ? ∧ ?$

$??????????? c o n s t r a i n 5 s k . v k, τ ? ∧ ? c o n s t r a i n 6 s k . v k, τ$ ）

4. $a c c = 1$

5. Return

a c c

表9 Dec解密算法

Table 9 Dec decryption algorithm

D e c s k (c) ? → b

输入： $c$

输出： $b$

1. $T * ← D e c P a r G e n (l, l 2)$

2. $c i n v = s k . r p - 1 (c)$

3. $y = M M M T, c i n v (m o d ? q)$

4. $b = M M M (T *, y) m o d ? N$

5. Return $b$

表9 Dec解密算法

Table 9 Dec decryption algorithm

D e c s k (c) ? → b

输入： $c$

输出： $b$

1. $T * ← D e c P a r G e n (l, l 2)$

2. $c i n v = s k . r p - 1 (c)$

3. $y = M M M T, c i n v (m o d ? q)$

4. $b = M M M (T *, y) m o d ? N$

5. Return $b$

表10 性能分析中的符号定义

Table 10 Symbol definition in performance analysis

符号	定义
n′	函数转换成算术电路后线路的数量
l	密文的长度和密钥矩阵的行数
r	密钥矩阵的列数
s	MMM函数分割矩阵的子矩阵个数
$p o l y (f)$	外包函数的执行时间
$t e$	双线性映射的执行时间
$t E$	同态编码的执行时间
$t G$	$G$ 群运算的执行时间
$t G T$	$G T$ 群运算的执行时间

表10 性能分析中的符号定义

Table 10 Symbol definition in performance analysis

符号	定义
n′	函数转换成算术电路后线路的数量
l	密文的长度和密钥矩阵的行数
r	密钥矩阵的列数
s	MMM函数分割矩阵的子矩阵个数
$p o l y (f)$	外包函数的执行时间
$t e$	双线性映射的执行时间
$t E$	同态编码的执行时间
$t G$	$G$ 群运算的执行时间
$t G T$	$G T$ 群运算的执行时间

表11 方案对比

Table 11 Comparison with prior schemes

方案	GHV^[2]	VFHE^[6]	SL-CP-ABE^[16]	zk-VFHE
明文结构	矩阵	矩阵	向量	向量
密文结构	矩阵	矩阵	向量集合	向量
验证支持	不支持	不支持	不支持	支持
同态性	全同态	部分同态	部分同态	全同态
加密效率	$O (l r)$	$O (l r)$	$O (l r)$	$O (l · l g 2 ? (s) l g ? (l g ? (s)))$
解密效率	$O (l r)$	$O (l r)$	$O (l r)$	$O (l · l g 2 ? (s) l g ? (l g ? (s)))$
密文运算效率	$O (1)$	$O (1)$	$O (1)$	$O (1)$
外包运算效率	$O (p o l y (f))$	$O (p o l y (f))$	$O (p o l y (f))$	$O (p o l y (f)) + O (t E)$
验证效率	—	$O (l r)$	—	$O (t e) + O (t G) + O (t G T)$

表11 方案对比

Table 11 Comparison with prior schemes

方案	GHV^[2]	VFHE^[6]	SL-CP-ABE^[16]	zk-VFHE
明文结构	矩阵	矩阵	向量	向量
密文结构	矩阵	矩阵	向量集合	向量
验证支持	不支持	不支持	不支持	支持
同态性	全同态	部分同态	部分同态	全同态
加密效率	$O (l r)$	$O (l r)$	$O (l r)$	$O (l · l g 2 ? (s) l g ? (l g ? (s)))$
解密效率	$O (l r)$	$O (l r)$	$O (l r)$	$O (l · l g 2 ? (s) l g ? (l g ? (s)))$
密文运算效率	$O (1)$	$O (1)$	$O (1)$	$O (1)$
外包运算效率	$O (p o l y (f))$	$O (p o l y (f))$	$O (p o l y (f))$	$O (p o l y (f)) + O (t E)$
验证效率	—	$O (l r)$	—	$O (t e) + O (t G) + O (t G T)$

表12 zk-VFHE的渐进时间复杂度

Table 12 Asymptotic time complexity of zk-VFHE

函数	渐进复杂度
KeyGen	$(11 n + 7) t E$
Enc	$O (l · l g 2 ? (s) l g ? (l g ? (s)))$
Eval	$2 p o l y (f) + 14 t E$
Ver	$O (l · l g 2 ? (s) l g ? (l g ? (s))) + 18 t e + 6 t G T + t G$

表12 zk-VFHE的渐进时间复杂度

Table 12 Asymptotic time complexity of zk-VFHE

函数	渐进复杂度
KeyGen	$(11 n + 7) t E$
Enc	$O (l · l g 2 ? (s) l g ? (l g ? (s)))$
Eval	$2 p o l y (f) + 14 t E$
Ver	$O (l · l g 2 ? (s) l g ? (l g ? (s))) + 18 t e + 6 t G T + t G$

图2 zk-VFHE的运行时间（a）—密钥生成算法和密文运算算法执行效率；（b）—加密算法执行效率；（c）—验证算法执行效率.

Fig.2 Running time of zk-VFHE

图3 同态加密算法的时间效率对比

Fig.3 Time efficiency comparison of homomorphic encryptions

参考文献 16

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8	Ganesh C， Nitulescu A， Soria‑Vazquez E.Rinocchio：SNARKs for ring arithmetic［J］.Journal of Cryptology，2023，36（4）：41-93.
9	Brakerski Z， Vaikuntanathan V.Fully homomorphic encryption from ring-LWE and security for key dependent messages［C］//Annual Cryptology Conference. Heidelberg：Springer，2011：505-524.
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