由于经常受到随机突变诸如外界随机干扰、内部元件的随机故障和失效等影响, 实际系统可以用Markov跳变系统来刻画.它是一类包含多个模态的重要随机混杂系统, 有着广泛的应用，例如网络控制系统^[1]、机械系统^[2]、故障检测系统^[3]和经济系统^[4]等.

转移概率 (TPs) 作为Markov跳变系统的一个关键性因素，直接影响系统性能.若Markov跳变系统的转移概率矩阵不随时间t发生变化, 即转移概率与t是相互独立的, 则为齐次Markov过程, 除此之外则被称为非齐次Markov过程^[5].近20年来, 针对齐次Markov跳变系统取得了很多研究成果^[6-9], 它们均假定Markov跳变过程满足齐次性, 然而转移概率在实际系统运行过程中很难长时间保持恒定.例如系统工程中的组件故障率、网络控制系统的随机丢包和时延等问题, 此类系统子模态之间的切换规律符合分段齐次Markov过程, 它是非齐次Markov跳变过程的一种特殊情况, 意味着转移概率随时间变化但在一定时间间隔内保持不变.由于考虑分段齐次转移概率能更好地描述许多实际系统的特性, 近几年, 分段齐次Markov跳变系统的研究逐渐成为热点^{[5, 10-12]}.

另一方面, 执行器饱和的存在严重影响系统性能甚至导致系统不稳定, 例如平衡指针^[13-14]、小车弹簧摆系统^{[13, 15]}、F-8飞行器^{[13, 16]}、RLC电路^[17]等.近几年, 越来越多的学者研究具有执行器饱和的Markov跳变系统, 取得丰硕的成果^[18-21].然而, 却没有关于具有执行器饱和的分段齐次Markov跳变系统的文献报道.

1 问题描述及相关引理

考虑一类Markov饱和跳变系统：

(1)

式中：x(t)∈Rⁿ, u(t)∈R^m分别是系统的状态、控制输入；A(r_t) 和B(r_t) 为已知的具有适当维数的模态依赖常数矩阵; 标准饱和函数σ(·) 定义为

其中，σ(u_i)=sign (u_i) min{1, |u_i|}为符号函数；r_t是在有限集合S₁={1, 2, …, S}中取值的Markov过程, 转移概率定义为

式中：h>0, 且有h→0时, ο(h)/h→0；λ_ij^(δ_t+h)表示系统从t时刻模态i跳变到t+h时刻模态j的转移率, 并且有成立.

考虑δ_t, 意味着转移概率是时变的.同时, 假设δ_t为t的分段常函数.跳变转移概率矩阵定义为.

注1 Markov跳变过程的分段齐次转移概率矩阵Λ^(δ_t+h)是时变转移概率矩阵的一种特殊情况, 转移概率随时间变化但在一定时间间隔内保持不变.

类似地, 参数{δ_t, t≥0}也是一个Markov跳变过程, 随t在有限集合Γ={1, 2, …, M}中取值.是Markov跳变过程的转移概率矩阵, 转移概率的定义为

(3)

式中：h>0, ο(h)/h→0，q_kl表示转移概率从t时刻的Λ^(k)跳变到t+h时刻的Λ^(l)的转移率, 并且有成立.本文假设随机过程r_t和δ_t是相互独立的.

函数σ(·):R^m→R^m是标准的向量饱和函数, 即

式中，.

对于任意的r_t=i和δ_t=k, 为了简化记号, A(r_t), B(r_t) 记为A_i, B_i.

设计参数依赖的状态反馈控制器为

(4)

式中，F_{i, k}为待定的控制器增益.

定义1^[19]对任意的初始模态r_t∈Γ, 初始状态x₀∈Ψ, Ψ⊂Rⁿ下, 使得

T(x₀, r₀).式中：T(x₀, r₀) 为正的标量参数, 那么集合Ψ⊂Rⁿ被称为Markov跳变系统 (1) 在均方意义下的吸引区域.

对于任意矩阵P_i, 定义椭圆

引理1^[19]对于任意的矩阵F_{i, k}, H_{i, k}∈R^m×n, 如果x(t)∈φ(H_{i, k}), 则σ(F_ix(t)) 可以表示为

(5)

式中：

…, m}, h_{i, k, j}为矩阵H_{i, k}的第j行; D_ν, D_ν^－=I－D_ν∈γ, ν=1, 2, …, 2^m, γ为m×m的对称矩阵集合, 其对角线上的元素为1或者0；η_ν为标量并且0 .

考虑控制器 (4), 可以得到闭环系统：

(6)

2 主要结论 2.1 随机稳定性分析

定理1考虑一类分段齐次Markov饱和系统 (6)，对于i=1, 2, …, S，ν=1, 2, …, 2^m，k=1, 2, …, M，如果存在正定对称矩阵P_{i, k}，使得

(7)

(8)

式中：

则集合包含在闭环系统的吸引域内.

证明, 由式 (8) 可得x_t∈Ψ(H_{i, k}).选择随机Lyapunov函数：

式中：=(j, l), P_{i, k}是正定对称矩阵.则根据Markov跳变过程无穷小算子定义可得

如果条件 (7) 成立, 则ΔV(x_t, r_t, δ_t) < 0.类似于文献[11]中定理3.1的证明:条件 (7) 成立，能保证集合在闭环系统的吸引域内.

2.2 状态控制器的设计和吸引域估计

本节采用椭圆不变集来估计系统的吸引域, 在吸引域中求解最大的作为系统的吸引域估计值.令参考集χ_R⊂Rⁿ为一个包含原点的凸集.对于包含原点的集合φ⊂Rⁿ, 定义

选择多面体集合χ_R, 定义, .

定理1给出了系统 (6) 随机稳定的充分条件, 需要将这些充分条件转化为便于求解的线性矩阵不等式的形式, 进而求得状态反馈控制增益F_{i, k}和最大不变吸引域.另外, 通过求解下列凸优化问题，验证给定的初始状态x₀∈Rⁿ是否在C₀{x¹, x², …, x^ω}内.

(9)

式中：h_{i, k, l1}是矩阵H_{i, k}的第l₁行；i=1, 2, …, S；l₁=1, 2, …, m；k=1, 2, …, M；g=1, 2, …, ω；ν=1, 2, …, 2^m.如果α_max>1, 则初始状态x₀在均方意义下的吸引域内.令

(10)

通过分析可知条件 (i) 等价于α²(x₀^g)²P_{i, k}x₀^g≤1, 由schur补定理知式 (10) 可进一步转化为

(11)

式中：g=1, 2, …, w；i=1, 2, …, S；k=1, 2, …, M.

对于i∈S₁，k∈Γ，由于存在设计参数F_{i, k}, H_{i, k}, 不等式 (7) 是非线性的，对不等式左边分别左乘和右乘Q_{i, k}得

根据schur补引理可得

(12)

式中：

条件 (8) 等价于, 则, 运用schur补定理得

(13)

对式 (13) 左边分别左乘和右乘对角阵{Q_{i, k}, I}:

(14)

式中：Z_{i, k, l1}是Z_{i, k}的第l行, Z_{i, k, l1}=h_{i, k, l1} Q_{i, k}, i=1, 2, …, S, k=1, 2, …, M, l₁=1, 2, …, m.

最后优化问题 (8) 转化为如下线性矩阵不等式形式的优化问题：

(15)

如果β_min < 1(α_max>1), 则设计的控制器u(t)=F_{i, k}x(t) 会使初始状态x₀属于C₀的系统 (5) 随机稳定, 同时状态反馈控制器增益为F_{i, k}=Y_{i, k}Q_{i, k}^-1.

3 数值仿真

用一个数值算例来验证主要结论的有效性.假设执行器饱和的分段齐次Markov跳变系统具有两个模态，即S={1, 2}, 其参数矩阵为

初始状态和分段转移概率矩阵为

Λ^(δ_t)(δ_t={1, 2, 3, 4}) 随机跳变的转移概率矩阵为

求解凸优化问题可得β_min=8.084 2×10^-5 < 1，控制器增益为

图 1~图 3分别为系统模态、上层切换和状态轨迹.由图可见, 所求解的参数依赖状态控制器可使初始状态属于凸集C₀{x₀¹}的闭环系统 (6) 随机稳定.

注2通过求解优化问题 (14), 可以验证初始状态满足吸引域条件.通过转移概率矩阵Π, 由Matlab仿真可以得到图 2.当图 2中的纵坐标为1时，考虑Λ¹对系统的影响；当纵坐标为2, 考虑Λ²对系统的影响.以此类推得到图 1.转移概率矩阵Π可以作为上层随机切换, 控制下层Λ¹，Λ²，Λ³，Λ⁴之间的切换.

4 结论

针对具有执行器饱和的Markov跳变系统, 在考虑分段齐次转移概率的情况下, 构造系统均方意义下的稳定域, 在线性矩阵不等式的框架下, 实现了控制器增益和吸引域最大估计值的求解.数值仿真进一步验证了所得结论的有效性.