2019, Vol. 40
分数阶微积分已有300多年的历史, 它是对整数阶微积分的推广和延伸.利用分数阶导数来描述某些现象是更加合理的.在实际生活中, 很多物理模型都可以利用分数阶微积分来进行刻画, 例如电子电路系统、热传导系统、电磁波系统、黏弹性系统都可以用分数阶微分方程来描述[1-3].传感器作为控制系统的基本设备, 其特点是分布广、数量大，数据测点可分布在各种不同设备的多个部位, 及时发现和识别传感器故障并能迅速做出决定来纠正它们是十分必要的.
目前, 有很多学者对观测器设计、故障诊断和消除噪声干扰进行了深入研究.文献[4]利用矩阵秩的性质和LMI的方法对广义离散系统进行了观测器的设计; 文献[5]将网络控制系统与分数阶系统相结合, 设计了针对有网络诱导时延的分数阶最优PIλDμ控制器; 文献[6]研究了基于线性矩阵不等式的Lipschitz系统传感器的故障诊断; 文献[7]提出了一种用来正确分析同时存在动态噪声和量测噪声的时间序列系统的新方法; 文献[8]提出了一种新型的增广故障诊断观测器的设计方法, 不仅显著地拓宽了自适应故障诊断观测器的适用范围, 而且使其具有处理系统扰动的良好性能; 文献[9]通过静态输出反馈控制器研究了分数阶T-S模糊系统的稳定性, 提出了一种基于LMI的控制器设计方法.
分数阶系统是比整数阶系统更加一般化的一类系统.本文对不确定分数阶系统的观测器设计问题进行了研究.基于文献[9]的判据, 将传感器故障、量测噪声和分数阶系统理论相结合, 利用矩阵秩的性质对这类复杂系统进行状态观测器的设计.构造误差系统, 使误差系统渐近稳定, 从而使观测器系统成功对原系统状态进行估计.区别于已有文献的结果, 本文考虑了存在故障的分数阶系统的控制问题.
1 问题描述与预备知识考虑带有传感器故障和量测噪声的线性分数阶不确定系统:
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(1) |
其中:分数阶次1 < q < 2;x(t)∈Rn是状态向量; u(t)∈Rm是控制输入向量; y(t)∈Rp是输出向量, fs(t)∈Rq是传感器故障向量; w(t)∈Rr是量测噪声向量; 矩阵A∈Rn×n; B∈Rn×m; C∈Rp×n; M∈Rp×q; N∈Rp×r是故障矩阵和噪声矩阵.其中ΔA代表不确定性, 并且满足
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(2) |
其中:D和H是已知的常数矩阵; F(σ)的元是Lebesgue可测的并且满足
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(3) |
本文考虑的分数阶微分是在Caputo定义[1]下的, 表述为
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(4) |
其中:n为整数且满足条件n－1 < q < n; Γ(·)是Gamma函数[1], 表达形式为
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考虑系统(1), 现将传感器故障项和量测噪声项合计为误差项xs(t), 则有
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(5) |
因为要同时估计状态和误差, 现利用增广的思想将分数阶不确定系统(1)变为广义分数阶不确定系统:
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(6) |
其中: 
不确定项矩阵D, F, H的增广阵表示为
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很显然系统(6)是一个分数阶不确定广义系统, 其中xa(t)是由原始系统的状态向量x(t), 传感器故障向量fs(t)和量测噪声向量w(t)组成.可以构造一个观测器来估计状态xa(t), 意味着可以同时重新构建x(t), fs(t)和w(t).
引理1[10] 分数阶系统Dqx(t)=Ax(t)，其中阶次属于1 < q < 2时是渐近稳定的, 当且仅当存在矩阵P=PT>0, 满足
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(7) |
引理2[11] 给定适当维数的矩阵Z, X和Y, 其中Z是对称的, 那么
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(8) |
对任意的F(t)满足FT(t)F(t)≤I, 当且仅当存在一个标量ε>0, 使得
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(9) |
引理3[12] 对于任意给定的实矩阵S1, S2和S3，其中, S1=S1T, S3>0，有
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(10) |
当且仅当
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(11) |
引理4[8] 对于矩阵E∈Rn×n和C∈Rp×n，如果满足
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那么一定存在矩阵[T N]满足:
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引理5[9] 考虑如下的分数阶线性时不变系统:
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(12) |
在静态输出反馈控制律下, 有u(t)=Ky(t), 那么闭环系统可描述为
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那么对于一些变量ε>1, 存在对称正定矩阵Q和矩阵K满足:
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(13) |
其中:
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使得闭环系统(13)是渐近稳定的.
2 主要结论 2.1 观测器设计观察到系统(6)中的矩阵Ea和Ca满足:
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(14) |
根据引理4可知, 存在行满秩矩阵[T1 T2]使得
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(15) |
本文的目的是设计一个观测器来估计系统(6)的状态, 设计观测器:
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(16) |
其中, L为观测器向量.又因为ya(t)=Caxa(t), 所以满足:
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(17) |
在式(6)的第一行左边乘以T1, 可以得到
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(18) |
把式(17)加在等式(18)两边, 并由式(15)可得
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(19) |
现定义误差为
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(20) |
用式(19)减去式(16), 并由式(20)可得误差动态方程为
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(21) |
令As=T1Aa－LCa, 则式(21)可以写成
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(22) |
根据式(15)可以构造T1和T2:
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(23) |
使得等式成立：
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其中, R1和R1是适当维数的任意矩阵.如果选取适当矩阵, 使得误差动态方程(22)的xs(t)可以消除，那么系统就变得更容易操作.因此, 选取T1为
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(24) |
所以, 此时满足:
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误差动态方程可表述为
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(25) |
定理1 存在ε>1, 使得误差动态系统(25)是渐近稳定的, 若存在对称矩阵Q>0, L和参数γ>0满足:
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(26) |
其中: 
证明 假设存在对称矩阵Q>0, 矩阵L和实数ε>1, 可得
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(27) |
其中: 
式(27)可以被进一步计算为
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其中, 
又因为
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其中:
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又因为
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(28) |
根据式(28)和引理2可得
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(29) |
由式(27)和式(29)可知, 满足
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由引理5可知, 误差动态系统(25)渐近稳定, 定理1得证.
2.3 传感器故障和量测噪声的准确估计已经利用增广的方法构造了广义不确定分数阶系统, 并设计了状态观测器.增广后广义系统的状态向量xa(t)可以同时表示x(t), fs(t)和w(t).所以传感器故障fs(t)和量测噪声w(t)的准确估计可以解出来.
定理2 考虑系统(6), 传感器故障fs(t)和量测噪声w(t)的准确估计为
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(30) |
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(31) |
当且仅当矩阵Ws=[M N]是列满秩的.
证明 由于满足
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初始系统状态
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(32) |
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(33) |
令Ws=[M N]是列满秩的, 则有
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(34) |
在等式(34)两端同时乘上(WsTWs)-1WsT可得
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(35) |
所以
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(36) |
所以可得
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(37) |
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(38) |
因为设计的观测器中存在Dqya(t)输出导数项, 这使得观测器在控制系统综合中的实现变得比较困难.为了能在实际应用中得到更好的结果, 将观测器改进为不带输出导数的形式就变得尤为重要.
定理3 考虑系统(16), 可用矩阵K1, H1, W1和S来为这个系统重新构造观测器:
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(39) |
其中ξ(t)是辅助变量, 并且有
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(40) |
证明 对于式(25)所描述的误差动态方程, 都满足T1Na=0, 考虑观测器系统(16), 为了能够估计Dqya(t), 可以引入一个辅助变量ξ(t)，满足
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(41) |
所以有
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(42) |
根据式(41)可以推出
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(43) |
由式(42)和式(43)可以推出如下系统表达式成立：
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(44) |
比较式(39)和式(44)可知, 可以设计观测器系统(16)参数矩阵.定理得证.
3 仿真算例Westerlund等[13]通过实验测定出不同电介质下分数阶电容的阶次.对于不同的RLC电网络系统, 根据柯西霍夫定律, 容易构造如下参数的分数阶系统的实例.
例1 考虑分数阶不确定系统(1), 取q=
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那么, 在系统(1)对应的增广不确定分数阶广义系统(6)中有
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在这里取FA(σ)为
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由式(23)和式(24)可知
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现取ε=20, 利用Matlab的LMI工具箱求解式(26), 得到可行解为
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误差动态系统(25)的状态响应曲线如图 1所示, 可以看出, 系统(6)在6 s左右就已趋于稳定.
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图 1 例1中误差动态系统的状态响应 Fig.1 State responses of error dynamic system of example 1 |
本文设计了带有传感器故障和量测噪声的不确定分数阶系统状态观测器.对系统状态、故障和量测噪声同时进行估计.通过数值算例和系统仿真, 验证了分数阶次为1 < q < 2时误差动态方程渐近稳定充分性判据的可行性，使得观测器在控制系统综合中的实现更容易，对于进一步进行分数阶广义系统的研究具有启发意义.未来的工作是将该方法应用于更复杂的系统, 例如分数阶阶次为0 < q < 1时的观测器设计问题，分数阶非线性系统或分数阶马尔科夫跳变系统的稳定性分析等.
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