在三维欧氏空间中，若一条曲线的切线和固定方向成固定角，则称其为一般螺线^[1].近年来，欧氏空间中一般螺线的定义已经被推广到Lorentz-Minkowski空间中^[2-4].本文给出k-型(k=1，2，3)伪零螺线及其轴的定义，并根据定义的伪零曲线的结构函数，讨论各种伪零螺线的几何性质.

1 预备知识

设E₁³是三维Minkowski空间，其中的内积定义为

设E₁³中的任意非零向量α，若〈α, α〉>0，则称α为类空向量；若〈α, α〉 < 0，则称α为类时向量；若〈α, α〉=0，则称α为类光向量.特别地，规定零向量为类空向量^[5-6].

定义1 ^[7]  设c是E₁³中任意一条正则曲线.若曲线c的切向量为类空向量(类时向量、类光向量)，则称c为类空曲线(类时曲线、类光曲线).特别地，若类空曲线c的主法向量为类空向量(类时向量、类光向量)，则称其为第一类类空曲线(第二类类空曲线、伪零曲线).

引理1 ^[7] 设r(s)是E₁³中以s为弧长参数的伪零曲线，则其满足如下Frenet公式：

(1)

其中：

〈α，β〉=〈α，γ〉=0.α(s)，β(s)，γ(s)分别称为曲线r(s)的切向量、主法向量和副法向量；κ(s)称为曲线r(s)的曲率函数.

标注1  本文所讨论的伪零曲线均以弧长s为参数.

在文献[8-9]中，作者利用结构函数分别描述了锥曲线与类光曲线.本文用类似的方法描述E₁³中的伪零曲线.

首先，设伪零曲线r(s)的单位切向量为

显然－ξ₁²+ξ₂²+ξ₃²=1.不失一般性，设

这里f，g是s的光滑函数.于是

另外，由〈r″(s)，r″(s)〉=0，经过计算，有

解上面的微分方程，可得

总结上面的推导过程，有如下结论.

引理2 设r(s)是E₁³中的伪零曲线，那么r(s)可以表示为

其中：f，g是s的光滑函数，称其为结构函数，且它们满足

由引理2与引理1，容易得到如下结论.

引理3 设r(s)是E₁³中的伪零曲线，那么曲线r(s)的曲率函数κ(s)可以表示为

定义2 ^[9]  设r(s)是E₁³中以{α，β，γ}为标架的伪零曲线.若存在非零常向量V，使得〈α，V〉(〈β，V〉，〈γ，V〉)是非零常数，则称r(s)为k-型(k=1，2，3)伪零螺线，V称为r(s)的轴.

标注2  定义2中曲线r(s)的切向量α，主法向量β，副法向量γ都不是常向量.

2 主要结论

设非零常向量V是k-型伪零螺线r(s)的轴.那么V可以表示为^[10]

(2)

这里v_i=v_i(s)(i=1，2，3)是弧长参数s的光滑函数.显然

在式(2)两端关于参数s求导，整理可得

(3)

2.1 1-型伪零螺线

定理1  E₁³中的任意伪零曲线r(s)是1-型伪零螺线.

证明 根据1-型伪零螺线的定义，有

(4)

在式(4)两端关于参数s求两次导，可知r(s)的曲率函数κ(s)是任意函数.

反之，对于任意伪零曲线r(s)，由式(3)和式(4)，总可以找到常向量

使得〈α，V〉=c≠0.证毕.

由定理1及引理3，不难得到下面的推论，具体证明略.

推论1  设r(s)是1-型伪零螺线，那么r(s)的轴V是类空轴，且V可以由r(s)的结构函数表示为

这里c₁，c∈R且c≠0.

2.2 2-型伪零螺线

定理2 在E₁³中不存在2-型伪零螺线.

证明 根据2-型伪零螺线的定义，有

将v₃=C₀代入式(3)中，可得曲率函数κ(s)≡0.此时由式(1)可知主法向量β为常向量，显然矛盾.证毕.

2.3 3-型伪零螺线

定理3 设曲线r(s)是E₁³中的伪零曲线，那么r(s)是3-型伪零螺线当且仅当其曲率函数κ(s)满足

进一步，曲率函数κ(s)有以下三种形式：

① κ(s)=－2(s+c₁)^－1；

② κ(s)=2atana(s+c₂)；

③ .

这里a>0且c_i(i=1，2，3)∈R.

证明 根据3-型伪零螺线的定义，有

(5)

在式(5)两端关于参数s求导，可得

(6)

将v₂=C₀及式(6)代入式(3)中，可得

(7)

通过降阶法解方程(7)，得到曲率κ(s)的具体表达式，如定理3中的①，②，③.

反之，当曲率κ(s)满足定理3中的①，②，③时，可以找到相应的常向量V如下：

① 当κ(s)=－2(s+c₁)^－1时，有

② 当κ(s)=2atana(s+c₂)时，有

③ 当时，有

显然三种情形均满足〈γ, V〉=c≠0.证毕.

由定理3中的三种情形，有下面的推论.

推论2  设r(s)是3-型伪零螺线，那么

① 当κ(s)=－2(s+c₁)^－1时，轴V为类光轴；

② 当κ(s)=2atana(s+c₂)时，轴V为类时轴；

③ 当时，轴V为类空轴.

这里a>0且c_i(i=1，2，3)∈R.

由定理3、引理2、引理3，通过适当的参数变换，可以得到如下结论，具体证明略.

定理4 设r(s)是3-型伪零螺线，那么r(s)的结构函数为

① 当κ(s)=－2(s+c₁)^－1时，有

② 当κ(s)=2atana(s+c₂)时，有

③ 当时，有

这里a>0且c_i(i=1，2，3)∈R.

由定理4，引理2，有下面的推论.

推论3  设r(s)是3-型伪零螺线，那么

① 当κ(s)=－2(s+c₁)^－1时，

② 当κ(s)=2atana(s+c₂)时，

③ 当时，

这里a>0且c_i(i=1，2，3)∈R.

3 结语

本文在三维Minkowski空间中定义了k-型伪零螺线，并找到了各类伪零螺线的轴.通过定义的结构函数给出了各种螺线的具体表达式.这为今后在不定度量空间中开展相关曲线的研究提供了一种新的思路.