基于QR分解的类Jacobi联合对角化算法

doi:10.12068/j.issn.1005-3026.2024.03.001

摘要/Abstract

摘要：

为提高实矩阵集的近似联合对角化的盲源分离性能，避免平凡解，提出了一种基于QR分解的类Jacobi联合对角化算法.利用QR分解的数值稳定性，采用Jacobi旋转矩阵，将分离矩阵分解为多个初等三角矩阵和正交矩阵的乘积，利用Jacobi旋转矩阵的结构及矩阵变换后的相关元素求解最优参数，将高维矩阵最小化问题转化为一系列低维矩阵子问题，提升源信号恢复精度.通过求解简化的Frobenius范数目标函数降低算法复杂度.混合心电信号仿真结果表明，与QRJ2D，LUCJD，EGJLUD算法相比，本文算法在分离精度和收敛速度方面均有一定优势.

关键词: 盲源分离, 非正交联合对角化, QR分解, 类Jacobi算法, 心电信号模型

Abstract:

In order to improve the blind separation performance of approximate joint diagonalization of real matrix sets and to avoid trivial solutions， a Jacobi?like joint diagonalization algorithm based on QR decomposition is proposed. Using the numerical stability of QR decomposition， the Jacobi rotation matrix is used to decompose the separation matrix into the product of several elementary triangular matrices and orthogonal matrices. The structure of Jacobi rotation matrix and the related elements of the target matrix transformation are used to obtain the optimal parameters. The high-dimensional minimization problem is iteratively transformed into a series of low-dimensional sub-problems， which enhances the recovery accuracy of the source signal. The algorithm complexity is reduced by solving the simplified Frobenius-norm objective function. The simulation results of mixed electrocardiogram （ECG） signals show that compared with QRJ2D， LUCJD and EGJLUD， the proposed algorithm has certain advantages in separation accuracy and convergence speed.

Key words: blind source separation（BSS）, non-orthogonal joint diagonalization, QR decomposition, Jacobi-like algorithm, ECG signal model

中图分类号:

TN 911.7

季策, 李烨, 李伯群. 基于QR分解的类Jacobi联合对角化算法[J]. 东北大学学报（自然科学版）, 2024, 45(3): 305-313.

Ce JI, Ye LI, Bo-qun LI. Jacobi-like Joint Diagonalization Algorithm Based on QR Decomposition[J]. Journal of Northeastern University(Natural Science), 2024, 45(3): 305-313.

图/表 18

图1 本文算法的流程图

Fig.1 Flowchart of the proposed algorithm

图2 模拟的ECG信号波形

Fig.2 Simulated ECG signal waveform

图3 模拟的心电观测信号（a）—观测信号1；（b）—观测信号2.

Fig.3 Simulated observed ECG signals

图4 本文算法对模拟的观测信号的分离结果（a）—恢复信号1；（b）—恢复信号2.

Fig.4 Separation results of simulated observed signals with the proposed algorithm

图5 QRJ2D算法对模拟的观测信号的分离结果（a）—恢复信号1；（b）—恢复信号2.

Fig.5 Separation results of simulated observed signals with QRJ2D algorithm

图6 LUCJD算法对模拟的观测信号的分离结果（a）—恢复信号1；（b）—恢复信号2.

Fig.6 Separation results of simulated observed signals with LUCJD algorithm

图7 EGJLUD算法对模拟的观测信号的分离结果（a）—恢复信号1；（b）—恢复信号2.

Fig.7 Separation results of simulated observed signals with EGJLUD algorithm

表1 4种算法的相关系数

Table 1 Correlation coefficient of four algorithms

算法	恢复信号1	恢复信号2
本文算法	0.993 0	0.989 5
QRJ2D	0.985 2	0.973 1
LUCJD	0.990 8	0.986 3
EGJLUD	0.991 5	0.982 3

表2 4种算法的串音误差和收敛时间 (of four algorithms)

Table 2 Crosstalk error and convergence time

算法	串音误差/dB	收敛时间/s
本文算法	-23.259	1.695
QRJ2D	-9.986	1.697
LUCJD	-21.951	1.850
EGJLUD	-17.999	1.863

表3 4种算法的SIR

Table 3 SIR of four algorithms

算法	恢复信号1	恢复信号2
本文算法	35.749	21.615
QRJ2D	23.433	9.166
LUCJD	26.339	20.747
EGJLUD	30.052	17.826

图8 不同信噪比条件下4种算法的串音误差

Fig.8 Crosstalk error of four algorithms under different SNR

图9 DaISy 数据库的1~4导联心电信号（a）—信号1；（b）—信号2；（c）—信号3；（d）—信号4.

Fig.9 1~4 lead ECG signals from DaISy database

图10 本文算法临床心电信号分离结果（a）—恢复信号1；（b）—恢复信号2；（c）—恢复信号3；（d）—恢复信号4.

Fig.10 Clinical ECG signal separation results with the proposed algorithm

图11 QRJ2D算法临床心电信号分离结果（a）—恢复信号1；（b）—恢复信号2；（c）—恢复信号3；（d）—恢复信号4.

Fig.11 Clinical ECG signal separation results with QRJ2D algorithm

图12 LUCJD算法临床心电信号分离结果（a）—恢复信号1；（b）—恢复信号2；（c）—恢复信号3；（d）—恢复信号4.

Fig.12 Clinical ECG signal separation results with LUCJD algorithm

图13 EGJLUD算法临床心电信号分离结果（a）—恢复信号1；（b）—恢复信号2；（c）—恢复信号3；（d）—恢复信号4.

Fig.13 Clinical ECG signal separation results with EGJLUD algorithm

表4 4种算法的信噪比

Table 4 SNR of four algorithms

算法	信噪比/dB
本文算法	8.17
QRJ2D	7.69
LUCJD	7.72
EGJLUD	7.84

表5 4种算法的时间复杂度

Table 5 Time complexity of four algorithms

算法	时间复杂度
本文算法	$O K N 3$
QRJ2D	$O K N 3$
LUCJD	$O 3 K N 3 + 4 N 3$
EGJLUD	$O 4 K N 3 + N 3$

表5 4种算法的时间复杂度

Table 5 Time complexity of four algorithms

算法	时间复杂度
本文算法	$O K N 3$
QRJ2D	$O K N 3$
LUCJD	$O 3 K N 3 + 4 N 3$
EGJLUD	$O 4 K N 3 + N 3$

参考文献 15

1	Yu X C， Hu D， Xu J D.Blind source separation：theory and applications［M］.Singapore：Science Press，2013：1101-1102.
2	李振璧，王康，姜媛媛.盲源分离技术研究与方法综述［J］.科学技术与工程，2017，17（14）：141-147.
	Li Zhen‐bi， Wang Kang， Jiang Yuan‐yuan.Research and survey on methods of blind source separation technology［J］.Science Technology and Engineering，2017，17（14）：141-147.
3	王法松.盲源分离的扩展模型与算法研究［D］.西安：西安电子科技大学，2013.
	Wang Fa‑song.Research on extended models and algorithms for blind source separation［D］.Xi’an：Xidian University，2013.
4	Li W R， Miao J F， Cheng G H.A Jacobi‐like algorithm for the general joint diagonalization problem with its application to blind source separation［C］//12th International Congress on Image and Signal Processing，BioMedical Engineering and Informatics（CISP‑BMEI）.Suzhou，2019：91-95.
5	Saito S， Oishi K.A robust alternate least squares algorithm for approximate joint diagonalization in overdetermined blind source separation［C］//IEEE 10th Global Conference on Consumer Electronics （GCCE）.Kyoto，2021：969-973.
6	Ziehe A， Laskov P， Nolte G，et al.A fast algorithm for joint diagonalization with non‐orthogonal transformations and its application to blind source separation［J］.Journal of Machine Learning Research，2004，5（3）：777-800.
7	Vollgraf R， Obermayer K.Quadratic optimization for simultaneous matrix diagonalization［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2006，54（9）：3270-3278.
8	Afsari B.Simple LU and QR based non‐orthogonal matrix joint diagonalization［J］.Independent Component Analysis and Blind Signal Separation，2006，3889：1-7.
9	Wang K， Gong X F， Lin Q H.Complex non‐orthogonal joint diagonalization based on LU and LQ decompositions［C］//International Conference on Latent Variable Analysis and Signal Separation.Berlin，2012：50-57.
10	Cheng G H， Li S M， Miao J F，et al.LU‐based Jacobi‐like algorithms for non‑orthogonal joint diagonalization［J］.Computers and Mathematics with Applications，2018，76（1）：113-124.
11	Cardoso J F， Souloumiac A.Jacobi angles for simultaneous diagonalization［J］.SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications，1996，17（1）：161-164.
12	Outram N J.Intelligent pattern analysis of the foetal electrocardiogram［D］.Plymouth：University of Plymouth，1998.
13	McSharry P E， Clifford G D， Tarassenko L，et al.A dynamical model for generating synthetic electrocardiogram signals［J］.IEEE Transactions on Biomedical Engineering，2003，50（3）：289-294.
14	De Moor B.DaISy：database for the identification of systems［EB/OL］.（2014-07-07）［2021-01-14］..
15	André R， Luciani X， Moreau E.A coupled joint eigenvalue decomposition algorithm for canonical polyadic decomposition of tensors［C］//IEEE Sensor Array and Multichannel Signal Processing Workshop （SAM）.Rio de Janeiro，2016：460-464.

[1]	季策, 刘明欣. 基于高阶累积量张量分解的联合盲源分离算法[J]. 东北大学学报（自然科学版）, 2024, 45(1): 26-32.
[2]	季策，张欢，耿蓉，李伯群. 基于OS-SASP算法的欠定盲源分离[J]. 东北大学学报（自然科学版）, 2021, 42(4): 501-508.
[3]	季策，姜雨田. 基于方向幅值比的欠定盲源分离算法[J]. 东北大学学报:自然科学版, 2019, 40(7): 920-924.
[4]	王彬，高冰，谷沛尚，辛凤鸣. 基于FastICA的低信噪比雷达信号分选算法[J]. 东北大学学报:自然科学版, 2019, 40(11): 1555-1560.
[5]	季策，孙梦雪，张君. 基于EMD改进算法的欠定混合盲分离[J]. 东北大学学报:自然科学版, 2018, 39(8): 1108-1113.
[6]	季策，单长芳，沙毅，周荣坤. 基于分组简化粒子群算法的盲源分离[J]. 东北大学学报:自然科学版, 2018, 39(6): 787-791.
[7]	鲍喜荣，李玉珍，苏婷，张石. 医疗超声成像自适应波束形成算法[J]. 东北大学学报:自然科学版, 2018, 39(4): 468-473.
[8]	季策，刘梦蝶，陶奕名. 基于皮尔逊系统的语音信号盲源分离[J]. 东北大学学报:自然科学版, 2015, 36(1): 6-9.
[9]	解志斌;汪晋宽;王赟;高静;. 基于Householder-QR分解的低复杂度天线选择算法[J]. 东北大学学报(自然科学版), 2008, 29(9): 1274-1278.
[10]	王赟;汪晋宽;宋昕;解志斌;. 基于迭代QR分解的MMSE V-BLAST算法[J]. 东北大学学报(自然科学版), 2008, 29(1): 65-68.
[11]	薛嘉庆;张薇. 解二次规划的一种Karmarkar变型算法[J]. 东北大学学报:自然科学版, 1992, 13(4): 423-428.