Nil3 空间中的极小仿射平移曲面

doi:10.12068/j.issn.1005-3026.2024.10.018

东北大学学报（自然科学版） ›› 2024, Vol. 45 ›› Issue (10): 1513-1520.DOI: 10.12068/j.issn.1005-3026.2024.10.018

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Nil₃ 空间中的极小仿射平移曲面

于延华(), 栗倩荣, 薛睿

东北大学理学院，辽宁沈阳 110819

收稿日期:2023-09-11 出版日期:2024-10-31 发布日期:2024-12-31
通讯作者: 于延华
作者简介:于延华（1978-），女，湖北荆门人，东北大学副教授.
基金资助:
中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(N2104007)

Minimal Affine Translation Surfaces in Nil₃ Space

Yan-hua YU(), Qian-rong LI, Rui XUE

School of Sciences，Northeastern University，Shenyang 110819，China.

Received:2023-09-11 Online:2024-10-31 Published:2024-12-31
Contact: Yan-hua YU
About author:YU Yan-hua，E-mail：yyh_start@126.com

摘要/Abstract

摘要：

Nil₃ 空间是带有Heisenberg群结构的黎曼空间.利用Heisenberg群的群算子构造Nil₃ 空间中的仿射平移曲面.仿射平移曲面是由两条平面曲线作为基线通过群运算生成的.由于群运算不具有交换性, 选定一组基线可以生成两类不同的仿射平移曲面.之后对这两种仿射平移曲面进行分类.利用常数变易法和欧拉待定指数函数法解曲面的平均曲率等于零时所对应的微分方程，并给出不同运算下极小仿射平移曲面的分类定理.最后给出一些具体的极小仿射平移曲面，并用Mathematica画出相应的图像.

关键词: Nil₃ 空间, 仿射平移曲面, 极小曲面, Heisenberg群, 平均曲率

Abstract:

Nil3 space is a Riemannian space with a Heisenberg group structure. The affine translation surfaces in Nil₃ space are constructed by using the group operator of the Heisenberg group. These surfaces are generated by two planar curves as base lines through group operation. However， since group operations are not commutative， selecting the same base lines generates two types of different affine translation surfaces. Then， the two affine translation surfaces are classified. Employ the method of variation of constants and Euler’s method of indeterminate exponential functions to solve the differential equation arising when the mean curvature of a surface equal zero， and present the classification theorem for minimal affine translation surfaces under various operations. Finally， some specific minimal affine translation surfaces are given， and corresponding images are drawn using Mathematica.

Key words: Nil₃ space, affine translation surface, minimal surface, Heisenberg group, mean curvature

中图分类号:

O 186

于延华, 栗倩荣, 薛睿. Nil₃ 空间中的极小仿射平移曲面[J]. 东北大学学报（自然科学版）, 2024, 45(10): 1513-1520.

Yan-hua YU, Qian-rong LI, Rui XUE. Minimal Affine Translation Surfaces in Nil₃ Space[J]. Journal of Northeastern University(Natural Science), 2024, 45(10): 1513-1520.

图/表 8

图1 u″-a=0情况下的第一类极小仿射平移曲面M1

Fig.1 The first type of minimal affine translation surface M1 in case u″-a=0

图2 B'=0,b1≠0情况下的第一类极小仿射平移曲面M1

Fig.2 The first type of minimal affine translation surface M1 in case B'=0,b1≠0

图3 B'=0,b1=0情况下的第一类极小仿射平移曲面M1

Fig.3 The first type of minimal affine translation surface M1 in case B'=0,b1=0

图4 B'≠0,b6=0情况下的第一类极小仿射平移曲面M1

Fig.4 The first type of minimal affine translation surface M1 in case B'≠0,b6=0

图5 u″=0情况下的第二类极小仿射平移曲面M2

Fig.5 The second type of minimal affine translation surface M2 in case u″=0

图6 A1'=0,b=0情况下的第二类极小仿射平移曲面M2

Fig.6 The second type of minimal affine translation surface M2 in case A1'=0,b=0

图7 A1'=0,2ab=1情况下的第二类极小仿射平移曲面M2

Fig.7 The second type of minimal affine translation surface M2 in case A1'=0,2ab=1

图8 A1'=0,2ab≠1情况下的第二类极小仿射平移曲面M2

Fig.8 The second type of minimal affine translation

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